- 数学B｜統計的な推測「二項分布と正規分布」の基本例題解説ページです。
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問題｜二項分布と正規分布
統計的な推測 341個のさいころを \(720\) 回投げて、1の出る回数を \( X \) とするとき、 \( X \) が \(110\) 以下となる確率の求め方は？ただし、\( p(1)=0.3413 \) とする。
高校数学B｜統計的な推測
解法のPoint
二項分布と正規分布
Point：二項分布と正規分布
① 二項分布 \( B(n~,~p) \) より、起こらない確率を \( q=1-p \) として、期待値(平均) \( m \) と標準偏差 \( \sigma \) を求める。
期待値(平均) \(m=np\)、標準偏差 \(\sigma=\sqrt{\,n p q\,}\)
② \( n \) が大きいと、\( X \) は正規分布 \( N(m~,~\sigma^2) \) に従うので、標準正規分布に従う確率変数 \( Z \) へ変換する。
\(N(np~,~npq)\) より、\(\begin{eqnarray}Z&=&\displaystyle \frac{\,X-n p\,}{\,\sqrt{n p q}\,}
\end{eqnarray}\)
③ 正規分布の表より確率を求める。
二項分布 \( B(n~,~p) \) に従う確率変数 \( X \) は、\( n \) が大きいとき、正規分布 \( N(m~,~\sigma^2) \) に従う。
よって、二項分布 \( B(n~,~p) \) に従う確率変数 \( X \) の特定の範囲の確率は、
① 二項分布 \( B(n~,~p) \) より、起こらない確率を \( q=1-p \) として、期待値(平均) \( m \) と標準偏差 \( \sigma \) を求める。
期待値(平均) \(m=np\)、標準偏差 \(\sigma=\sqrt{\,n p q\,}\)
② \( n \) が大きいと、\( X \) は正規分布 \( N(m~,~\sigma^2) \) に従うので、標準正規分布に従う確率変数 \( Z \) へ変換する。
\(N(np~,~npq)\) より、\(\begin{eqnarray}Z&=&\displaystyle \frac{\,X-n p\,}{\,\sqrt{n p q}\,}
\end{eqnarray}\)
③ 正規分布の表より確率を求める。
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詳しい解説｜二項分布と正規分布
統計的な推測 34
1個のさいころを \(720\) 回投げて、1の出る回数を \( X \) とするとき、 \( X \) が \(110\) 以下となる確率の求め方は？ただし、\( p(1)=0.3413 \) とする。
高校数学B｜統計的な推測
くり返しの回数 \( n=720 \) と、
1の目が出る確率が \( \displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \) より、
確率変数 \( X \) は、二項分布 \( B\left(720~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\right) \) に従う
1の目以外が出る確率は、
\( 1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,} \)
これより、期待値(平均)は、
\(\begin{eqnarray}~~~m&=&720{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}
=120
\end{eqnarray}\)
標準偏差は、
\(\begin{eqnarray}~~~\sigma&=&\sqrt{\,720{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,100\,}=10
\end{eqnarray}\)
ここで、\(n\) が大きいので、確率変数 \( X \) は正規分布 \( N(120~,~10^2) \) に従う
また、\( Z=\displaystyle \frac{\,X-120\,}{\,10\,} \) とおくと
確率変数 \( Z \) は、標準正規分布 \( N(0~,~1) \) に従う
\( X=110 \) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~Z&=&\displaystyle \frac{\,110-120\,}{\,10\,}=-\,\displaystyle \frac{\,10\,}{\,10\,}=-1
\end{eqnarray}\)
よって、\( X \) が \(110\) 以下の値となる確率は、
\(\begin{eqnarray}~~~P(X{\small ~≦~}110)&=&P(Z{\small ~≦~}-1)
\\[5pt]~~~&=&0.5-p(1)
\\[5pt]~~~&=&0.5-0.3413
\\[5pt]~~~&=&0.1587
\end{eqnarray}\)
