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問題｜母集団分布と母平均・母標準偏差
統計的な推測 351のカードが \(3\) 枚、2のカードが \(2\) 枚、3のカードが \(1\) 枚の合計 \(6\) 枚のカードを母集団、カードの数字を変量とするとき、母集団分布、母平均と母標準偏差の求め方は？
高校数学B｜統計的な推測
解法のPoint
母集団分布と母平均・母標準偏差
Point：母集団分布と母平均・母標準偏差
母集団分布は確率分布と同様に、それぞれの変量とその確率で表す。
\(\begin{array}{c|ccc|c}
X & 1 & 2 & 3 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,2\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & 1
\end{array}\)
母平均 \(m\) は、変量 × 確率の和を用いて求める。
\(\begin{eqnarray}~~~m&=&\frac{\,1\cdot 3+2\cdot 2+3\cdot 1\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
① \(X^2\) の期待値(平均)を求める
\(\begin{eqnarray}~~~E(X^2)&=&\frac{\,1^2\cdot 3+2^2\cdot 2+3^2\cdot 1\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,10\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
② \(X^2\) の平均 − 母平均\(^2\) より、母分散を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~\sigma^2&=&\displaystyle \frac{\,10\,}{\,3\,}-\left(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\right)^2=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,9\,}
\end{eqnarray}\)
③ 母分散に平方根を取り、母標準偏差を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~\sigma&=&\sqrt{\displaystyle \frac{\,5\,}{\,9\,}}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
ある母集団に属する要素の性質を数量で表したものを「変量」という。
また、この母集団から1個の要素を無作為抽出したとき、その変量の値 \(X\) の確率分布を「母集団分布」という。
■ 母集団分布
母集団分布は確率分布と同様に、それぞれの変量とその確率で表す。
\(\begin{array}{c|ccc|c}
X & 1 & 2 & 3 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,2\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & 1
\end{array}\)
■ 母平均
母平均 \(m\) は、変量 × 確率の和を用いて求める。
\(\begin{eqnarray}~~~m&=&\frac{\,1\cdot 3+2\cdot 2+3\cdot 1\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
■ 母標準偏差
① \(X^2\) の期待値(平均)を求める
\(\begin{eqnarray}~~~E(X^2)&=&\frac{\,1^2\cdot 3+2^2\cdot 2+3^2\cdot 1\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,10\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
② \(X^2\) の平均 − 母平均\(^2\) より、母分散を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~\sigma^2&=&\displaystyle \frac{\,10\,}{\,3\,}-\left(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\right)^2=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,9\,}
\end{eqnarray}\)
③ 母分散に平方根を取り、母標準偏差を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~\sigma&=&\sqrt{\displaystyle \frac{\,5\,}{\,9\,}}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜母集団分布と母平均・母標準偏差
統計的な推測 35
1のカードが \(3\) 枚、2のカードが \(2\) 枚、3のカードが \(1\) 枚の合計 \(6\) 枚のカードを母集団、カードの数字を変量とするとき、母集団分布、母平均と母標準偏差の求め方は？
高校数学B｜統計的な推測
母集団分布は、母集団の \(6\) 枚のカードから、大きさ \(1\) の無作為標本の値 \(X\) の確率分布と一致するので、
\(\small [\,1\,]\) \(X=1\) のとき 確率 \( \displaystyle \frac{\,3\,}{\,6\,} \)
\(\small [\,2\,]\) \(X=2\) のとき 確率 \( \displaystyle \frac{\,2\,}{\,6\,} \)
\(\small [\,3\,]\) \(X=3\) のとき 確率 \( \displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \)
これより、母集団分布は、
\(\begin{array}{c|ccc|c}
X & 1 & 2 & 3 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,2\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & 1
\end{array}\)
母集団の変量 \(X\) の期待値(平均) \(m\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~m&=&\frac{\,1\cdot 3+2\cdot 2+3\cdot 1\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3+4+3\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,10\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
次に、\(X^2\) の期待値(平均)は、
\(\begin{array}{c|ccc|c}
X^2 & 1 & 4 & 9 & \\[5pt]
\hline
X & 1 & 2 & 3 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,2\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & 1
\end{array}\)
\(\begin{eqnarray}~~~E(X^2)&=&\frac{\,1^2\cdot 3+2^2\cdot 2+3^2\cdot 1\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3+8+9\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,20\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,10\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
これより、母分散は \(E(X^2)-m^2\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sigma^2&=&E(X^2)-m^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,10\,}{\,3\,}-\left(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\right)^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,10\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,25\,}{\,9\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,30-25\,}{\,9\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,9\,}
\end{eqnarray}\)
さらに、母標準偏差 \(\sigma\) は、母分散に平方根を取り、
\(\begin{eqnarray}~~~\sigma&=&\sqrt{\displaystyle \frac{\,5\,}{\,9\,}}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
