復元抽出と非復元抽出

1,2,3の \( 3 \) 枚のカードから、\(1\) 枚ずつ取り出したカードの数字の組を \( (X_1~,~X_2) \) とすると、

 

復元抽出の場合は、

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\( X_1 \) が決定したあと、カードをもとに戻して \( X_2 \) を取り出すので、\( X_1=X_2 \) の組合せも考えられる

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また、\( X_1 \) も \( X_2 \) も \( 3 \) 枚中 \( 1 \) 枚取り出すので、それぞれの組合せの確率は、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}{\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、復元抽出のときの同時分布表は、

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\(\begin{array}{c|ccc|c}
~~ ~~X_2 & & & & \\[-3pt]
X_1~~ ~~& 1 & 2 & 3 & 計 \\[7pt]
\hline
1 & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,9\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,9\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,9\,} & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,9\,} \\[7pt]
2 & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,9\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,9\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,9\,} & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,9\,} \\[7pt]
3 & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,9\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,9\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,9\,} & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,9\,} \\[7pt]
\hline
計 & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,9\,} & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,9\,} & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,9\,} & 1
\end{array}\)

 

次に、非復元抽出の場合は、

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\( X_1 \) が決定したあと、カードをもとに戻さず \( X_2 \) を取り出すので、\( X_1=X_2 \) の組合せはない

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よって、\( (1~,~1)~,~(2~,~2)~,~(3~,~3) \) の確率は \(0\) となる

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また、\( X_1 \) は \(3\) 枚中 \( 1 \) 枚を取り出し、\( X_2 \) は残りの \( 2 \) 枚中 \( 1 \) 枚を取り出すので、\( X_1=X_2 \) 以外の確率は、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}{\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、非復元抽出のときの同時分布表は、

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\(\begin{array}{c|ccc|c}
~~ ~~X_2 & & & & \\[-3pt]
X_1~~ ~~& 1 & 2 & 3 & 計 \\[7pt]
\hline
1 & 0 & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,2\,}{\,6\,} \\[7pt]
2 & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & 0 & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,2\,}{\,6\,} \\[7pt]
3 & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & 0 & \displaystyle\frac{\,2\,}{\,6\,} \\[7pt]
\hline
計 & \displaystyle\frac{\,2\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,2\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,2\,}{\,6\,} & 1
\end{array}\)