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問題｜標本平均の確率分布
統計的な推測 371,2,3の \(3\) 枚のカードを母集団として、復元抽出or非復元抽出で大きさ \(2\) の無作為標本を抽出し、順に \( X_1~,~X_2 \) としたとき、 \( X_1~,~X_2 \) の標本平均の確率分布の求め方は？
高校数学B｜統計的な推測
解法のPoint
標本平均の確率分布
Point：標本平均の確率分布
標本平均は、変量の値の和を標本の大きさで割ることで得られる。
\(\begin{eqnarray}\overline{X}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\left(X_1+X_2+\cdots+X_n\right)
\end{eqnarray}\)
母集団から大きさ \( n \) の標本を無作為抽出し、変量の値を \( X_1~,~X_2~,~\cdots~,~X_n \) とするとき、
標本平均は、変量の値の和を標本の大きさで割ることで得られる。
\(\begin{eqnarray}\overline{X}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\left(X_1+X_2+\cdots+X_n\right)
\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜標本平均の確率分布
統計的な推測 37
1,2,3の \(3\) 枚のカードを母集団として、復元抽出or非復元抽出で大きさ \(2\) の無作為標本を抽出し、順に \( X_1~,~X_2 \) としたとき、 \( X_1~,~X_2 \) の標本平均の確率分布の求め方は？
高校数学B｜統計的な推測
復元抽出の場合は、
\( X_1=X_2 \) の組合せも含めて、
標本平均 \( \overline{X}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left(X_1+X_2\right) \) の表を考えると、
\(\begin{array}{c|ccc}
\begin{array}{c}~~X_2\\[-3pt]X_1~~\end{array} & 1 & 2 & 3 \\[5pt]
\hline
1 & 1 & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,} & 2 \\[5pt]
2 & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,} & 2 & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,} \\[5pt]
3 & 2 & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,} & 3
\end{array}\)
また、それぞれのマスの組合せの確率は、
\(~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,} \)
これより、標本平均の値とそれぞれの確率は、
\(\small [\,1\,]\) \( \overline{X}=1 \)
\( (1~,~1) \) の \(1\) 組より \( \displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,} \)
\(\small [\,2\,]\) \( \overline{X}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} \)
\( (1~,~2)~,~(2~,~1) \) の \(2\) 組より \( \displaystyle \frac{\,2\,}{\,9\,} \)
\(\small [\,3\,]\) \( \overline{X}=2 \)
\( (1~,~3)~,~(2~,~2)~,~(3~,~1) \) の \(3\) 組より \( \displaystyle \frac{\,3\,}{\,9\,} \)
\(\small [\,4\,]\) \( \overline{X}=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,} \)
\( (2~,~3)~,~(3~,~2) \) の \(2\) 組より \( \displaystyle \frac{\,2\,}{\,9\,} \)
\(\small [\,5\,]\) \( \overline{X}=3 \)
\( (3~,~3) \) の \(1\) 組より \( \displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,} \)
したがって、復元抽出での標本平均 \( \overline{X} \) の確率分布は、
\(\begin{array}{c|ccccc|c}
\overline{X} & 1 & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,} & 2 & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,} & 3 & \\[5pt]
\hline
P & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,9\,} & \displaystyle\frac{\,2\,}{\,9\,} & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,9\,} & \displaystyle\frac{\,2\,}{\,9\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,9\,} & 1
\end{array}\)
非復元抽出の場合は、
\( X_1=X_2 \) となることはないので、
標本平均 \( \overline{X}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left(X_1+X_2\right) \) の表を考えると、
\(\begin{array}{c|ccc}
\begin{array}{c}~~X_2\\[-3pt]X_1~~\end{array} & 1 & 2 & 3 \\[5pt]
\hline
1 & – & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,} & 2 \\[5pt]
2 & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,} & – & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,} \\[5pt]
3 & 2 & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,} & –
\end{array}\)
\((1~,~1)~,~(2~,~2)~,~(3~,~3)\) は起こらないので確率が \(0\) であり、それ以外の確率は、
\(~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \)
これより、標本平均の値とそれぞれの確率は、
\(\small [\,1\,]\) \( \overline{X}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} \)
\( (1~,~2)~,~(2~,~1) \) の \(2\) 組より \( \displaystyle \frac{\,2\,}{\,6\,} \)
\(\small [\,2\,]\) \( \overline{X}=2 \)
\( (1~,~3)~,~(3~,~1) \) の \(2\) 組より \( \displaystyle \frac{\,2\,}{\,6\,} \)
\(\small [\,3\,]\) \( \overline{X}=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,} \)
\( (2~,~3)~,~(3~,~2) \) の \(2\) 組より \( \displaystyle \frac{\,2\,}{\,6\,} \)
したがって、非復元抽出での標本平均 \( \overline{X} \) の確率分布は、
\(\begin{array}{c|ccc|c}
\overline{X} & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,} & 2 & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,} & \\[5pt]
\hline
P & \displaystyle\frac{\,2\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,2\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,2\,}{\,6\,} & 1
\end{array}\)
