- 数学B｜統計的な推測「標本平均の文章問題」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜標本平均の文章問題
高校数学B｜統計的な推測
解法のPoint
標本平均の文章問題
標本平均の期待値(平均)と標準偏差を求める文章問題は、
① 母集団の母平均と母標準偏差を求める。
\(\begin{array}{c|cc|c}
X & 1 & 0 & 計 \\[5pt]
\hline
P & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,10\,} & \displaystyle\frac{\,9\,}{\,10\,} & 1
\end{array}\)
これより、母平均と母標準偏差は、
\(m=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,10\,}~,~\sigma=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,10\,}\)
② 標本の大きさ \(n\) より、標本平均 \(\overline{X}\) の期待値(平均)と標準偏差を求める。
標本平均の期待値(平均)は母平均と等しい
\(E(\overline{X})=m=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,10\,}\)
標本平均の標準偏差は、母標準偏差を標本の大きさの平方根で割った値となる
\(\sigma(\overline{X})=\displaystyle \frac{\,\sigma\,}{\sqrt{n}}=\frac{\,3\,}{\,50\,}\)
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜標本平均の文章問題
大量の製品の中の不良品の割合は \( \displaystyle \frac{\,1\,}{\,10\,} \) で、この中から標本として無作為に \(25\) 個の製品を抽出し、 \( k \) 番目に抽出された製品が不良品なら \( 1 \) 、良品なら \( 0 \) を対応させる確率変数を \( X_k \) とするとき、標本平均 \( \displaystyle \frac{\,1\,}{\,25\,}(X_1+X_2+X_3+\cdots+X_{25}) \) の期待値(平均)と標準偏差の求め方は？
高校数学B｜統計的な推測
この大量の製品を母集団として、
変量は、
不良品のとき、\(X=1\) で確率 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,10\,}\)
良品のとき、\(X=0\) で確率 \(1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,10\,}=\displaystyle \frac{\,9\,}{\,10\,}\)
となるので、母集団分布は、
\(\begin{array}{c|cc|c}
X & 1 & 0 & 計 \\[5pt]
\hline
P & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,10\,} & \displaystyle\frac{\,9\,}{\,10\,} & 1
\end{array}\)
これより、母平均 \(m\) は、
\(m=\displaystyle \frac{\,1\cdot 1+0\cdot 9\,}{\,10\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,10\,}\)
また、\( X^2 \) の期待値 \( E(X^2) \) は、
\( E(X^2)=\displaystyle \frac{\,1^2\cdot 1+0^2\cdot 9\,}{\,10\,}=\frac{\,1\,}{\,10\,} \)
よって、母標準偏差は、
\(\begin{eqnarray}~~~\sigma&=&\displaystyle \sqrt{\,\frac{\,1\,}{\,10\,}-\left(\frac{\,1\,}{\,10\,}\right)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \sqrt{\,\frac{\,10\,}{\,100\,}-\frac{\,1\,}{\,100\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \sqrt{\,\frac{\,9\,}{\,100\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,10\,}
\end{eqnarray}\)
次に、標本の大きさ \( n=25 \) より、
標本平均の期待値(平均)は母平均と等しいので、
\( E(\overline{X})=m=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,10\,} \)
標本平均の標準偏差は、母標準偏差を標本の大きさの平方根で割った値となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\sigma(\overline{X})&=&\displaystyle \frac{\,\sigma\,}{\sqrt{n}}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,3\,}{\,10\,}\,}{\,\sqrt{25}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,3\,}{\,10\,}\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,3\,}{\,10\,}{\, \small \times \,}10\,}{\,5{\, \small \times \,}10\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,50\,}
\end{eqnarray}\)
