- 数学B｜統計的な推測「標本比率と正規分布」の基本例題解説ページです。
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問題｜標本比率と正規分布
統計的な推測 41硬貨を \( 100 \) 回投げ、表の出る相対度数を \( R \) とするとき、\( R \) が \(55\) %以上となる確率の求め方は？また、\( R \) が \(50\) %以上 \(60\) %以下となる確率は？ただし、\( p(1)=0.3413~,~\)\(p(2)=0.4772 \) とする。
高校数学B｜統計的な推測
解法のPoint
標本比率と正規分布
Point：標本比率と正規分布
\(E(R)=p\)（母比率に等しい）
標準偏差は、
\(\sigma(R)=\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,p(1-p)\,}{\,n\,}\,}\)
標本比率 \(R\) は、正規分布 \( N\left(\,p~,~\displaystyle \frac{\,p(1-p)\,}{\,n\,}\,\right)\) に従い、
変換式 \(Z=\displaystyle \frac{\,R-p\,}{\,\sigma(R)\,}\) で、
標準正規分布 \( N(0~,~1) \) に従う。
ある母集団から大きさ \( n \) で無作為に抽出した標本における割合を標本比率という。
標本比率 \( R \) の期待値(平均)は、
\(E(R)=p\)（母比率に等しい）
標準偏差は、
\(\sigma(R)=\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,p(1-p)\,}{\,n\,}\,}\)
これより、\( n \) が大きいとき、
標本比率 \(R\) は、正規分布 \( N\left(\,p~,~\displaystyle \frac{\,p(1-p)\,}{\,n\,}\,\right)\) に従い、
変換式 \(Z=\displaystyle \frac{\,R-p\,}{\,\sigma(R)\,}\) で、
標準正規分布 \( N(0~,~1) \) に従う。
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詳しい解説｜標本比率と正規分布
統計的な推測 41
硬貨を \( 100 \) 回投げ、表の出る相対度数を \( R \) とするとき、\( R \) が \(55\) %以上となる確率の求め方は？また、\( R \) が \(50\) %以上 \(60\) %以下となる確率は？ただし、\( p(1)=0.3413~,~\)\(p(2)=0.4772 \) とする。
高校数学B｜統計的な推測
母集団の母比率は \( p=0.5 \) で、 \( n=100 \) のとき、
標本比率 \( R \) の期待値(平均)は、
\(\begin{eqnarray}~~~E(R)&=&p=0.5\end{eqnarray}\)
標準偏差は、
\(\begin{eqnarray}~~~\sigma(R)&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,p(1-p)\,}{\,n\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,0.5\cdot 0.5\,}{\,100\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0.5\,}{\,10\,}
\\[3pt]~~~&=&0.05
\end{eqnarray}\)
よって、正規分布 \( N(0.5~,~0.05^2) \) に従い、
\(\begin{eqnarray}~~~Z&=&\displaystyle \frac{\,R-0.5\,}{\,0.05\,}
\end{eqnarray}\)
これより、\( Z \) は標準正規分布 \( N(0,1) \) に従う
\( R=0.55 \) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~Z&=&\displaystyle \frac{\,0.55-0.5\,}{\,0.05\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0.05\,}{\,0.05\,}
\\[3pt]~~~&=&1
\end{eqnarray}\)
よって、\( R \) が \(55\) %以上となる確率は、
\(\begin{eqnarray}~~~P(R{\small ~≧~}0.55)&=&P(Z{\small ~≧~}1)
\\[3pt]~~~&=&0.5-p(1)
\\[3pt]~~~&=&0.5-0.3413
\\[3pt]~~~&=&0.1587
\end{eqnarray}\)
また、\( R=0.5 \) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~Z&=&\displaystyle \frac{\,0.5-0.5\,}{\,0.05\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0\,}{\,0.05\,}
\\[3pt]~~~&=&0
\end{eqnarray}\)
\( R=0.6 \) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~Z&=&\displaystyle \frac{\,0.6-0.5\,}{\,0.05\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0.1\,}{\,0.05\,}
\\[3pt]~~~&=&2
\end{eqnarray}\)
よって、\( R \) が \(50\) %以上 \(60\) %以下となる確率は、
\(\begin{eqnarray}~~~P(0.5{\small ~≦~}R{\small ~≦~}0.6)&=&P(0{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}2)
\\[3pt]~~~&=&p(2)
\\[3pt]~~~&=&0.4772
\end{eqnarray}\)
