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問題｜標本比率と大数の法則
統計的な推測 42硬貨を \( n \) 回投げ、表の出る相対度数を \( R \) とするとき、 \( n=100 \) の場合について、 \( P\left(\left|\,R-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\, \right|{\small ~≦~}0.05\right) \) の値の求め方は？また、\(n=400\) や \(n=900\) の場合では？ただし、\( p(1)=0.3413~,~\)\(p(2)=0.4772~,~\)\(p(3)=0.49865 \) とする。
高校数学B｜統計的な推測
解法のPoint
標本比率と大数の法則
Point：標本比率と大数の法則
確率 \(P\left(\left|\,R-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,\right|{\small ~≦~}0.05\right)\) は、
硬貨を投げて表が出る確率(母比率) \(p=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) と、\(n\) 回無作為抽出した相対度数 \(R\) (標本比率)より、
\(\left|\,R-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,\right|\) は、これらの誤差を表し、それが \(5\) % \(=0.05\) 以下となる確率を表している。
\(n=100\) のとき、確率 \(0.6826\)
\(n=400\) のとき、確率 \(0.9544\)
\(n=900\) のとき、確率 \(0.9973\)
これより、\(n\) が大きくなると誤差が \(5\) %以下となる確率は大きくなり、標本比率 \(R\) が母比率 \(p\) に近づく。これを「大数の法則」という。
確率 \(P\left(\left|\,R-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,\right|{\small ~≦~}0.05\right)\) は、
硬貨を投げて表が出る確率(母比率) \(p=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) と、\(n\) 回無作為抽出した相対度数 \(R\) (標本比率)より、
\(\left|\,R-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,\right|\) は、これらの誤差を表し、それが \(5\) % \(=0.05\) 以下となる確率を表している。
よって、
\(n=100\) のとき、確率 \(0.6826\)
\(n=400\) のとき、確率 \(0.9544\)
\(n=900\) のとき、確率 \(0.9973\)
これより、\(n\) が大きくなると誤差が \(5\) %以下となる確率は大きくなり、標本比率 \(R\) が母比率 \(p\) に近づく。これを「大数の法則」という。
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詳しい解説｜標本比率と大数の法則
統計的な推測 42
硬貨を \( n \) 回投げ、表の出る相対度数を \( R \) とするとき、 \( n=100 \) の場合について、 \( P\left(\left|\,R-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\, \right|{\small ~≦~}0.05\right) \) の値の求め方は？また、\(n=400\) や \(n=900\) の場合では？ただし、\( p(1)=0.3413~,~\)\(p(2)=0.4772~,~\)\(p(3)=0.49865 \) とする。
高校数学B｜統計的な推測
硬貨を投げる試行の結果を母集団とすると、表が出る母比率は、\( p=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \)
この母集団から大きさ \( n \) の標本を無作為に抽出するとき、表が出る相対度数 \( R \) が標本比率となる
この標本比率 \( R \) の期待値（母平均）は、
\( E(R)=p=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \)
標準偏差は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \sigma(R)&=&\sqrt{\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left(1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)\,}{\,n\,}}
\\[8pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,}{\,\sqrt{n}\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\sqrt{n}\,}
\end{eqnarray}\)
これより、標本比率 \( R \) は 正規分布 \( N\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4n\,}\right) \) に従い、
ここで、\( Z=\displaystyle \frac{\,R-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,}{\,\sigma(R)\,} \) とおくと、近似的に標準正規分布 \( N(0~,~1) \) に従う
よって、\(R-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) は、
\(\begin{eqnarray}~Z&=&\displaystyle \frac{\,R-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,}{\,\sigma(R)\,}
\\[5pt]~\displaystyle \frac{\,R-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,}{\,\sigma(R)\,}&=&Z
\\[5pt]~R-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}&=&Z\cdot \sigma(R)
\\[5pt]~R-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}&=&\displaystyle \frac{\,Z\,}{\,2\sqrt{n}\,}\hspace{15pt}\left(\,∵~ \sigma(R)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\sqrt{n}\,}\,\right)
\end{eqnarray}\)
\(n=100\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~R-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}&=&\displaystyle \frac{\,Z\,}{\,2\sqrt{100}\,}=\displaystyle \frac{\,Z\,}{\,20\,}
\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&P\left(\left|\,R-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,\right| {\small ~≦~} 0.05\right)
\\[5pt]~~~&=&P\left(\left|\,\displaystyle \frac{\,Z\,}{\,20\,}\,\right|{\small ~≦~}0.05\right)
\\[5pt]~~~&=&P\left(\left|\,Z\,\right|{\small ~≦~}0.05{\, \small \times \,}20\right)
\\[5pt]~~~&=&P\left(\left|\,Z\,\right|{\small ~≦~}1\right)
\\[5pt]~~~&=&P(-1{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}1)
\\[5pt]~~~&=&2\cdot p(1)
\\[5pt]~~~&=&2{\, \small \times \,}0.3413
\\[5pt]~~~&=&0.6826
\end{eqnarray}\)
\(n=400\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~R-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}&=&\displaystyle \frac{\,Z\,}{\,2\sqrt{400}\,}=\displaystyle \frac{\,Z\,}{\,40\,}
\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&P\left(\left|\,R-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,\right| {\small ~≦~} 0.05\right)
\\[5pt]~~~&=&P\left(\left|\,\displaystyle \frac{\,Z\,}{\,40\,}\,\right|{\small ~≦~}0.05\right)
\\[5pt]~~~&=&P\left(\left|\,Z\,\right|{\small ~≦~}0.05{\, \small \times \,}40\right)
\\[5pt]~~~&=&P\left(\left|\,Z\,\right|{\small ~≦~}2\right)
\\[5pt]~~~&=&P(-2{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}2)
\\[5pt]~~~&=&2\cdot p(2)
\\[5pt]~~~&=&2{\, \small \times \,}0.4772
\\[5pt]~~~&=&0.9544
\end{eqnarray}\)
\(n=900\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~R-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}&=&\displaystyle \frac{\,Z\,}{\,2\sqrt{900}\,}=\displaystyle \frac{\,Z\,}{\,60\,}
\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&P\left(\left|\,R-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,\right| {\small ~≦~} 0.05\right)
\\[5pt]~~~&=&P\left(\left|\,\displaystyle \frac{\,Z\,}{\,60\,}\,\right|{\small ~≦~}0.05\right)
\\[5pt]~~~&=&P\left(\left|\,Z\,\right|{\small ~≦~}0.05{\, \small \times \,}60\right)
\\[5pt]~~~&=&P\left(\left|\,Z\,\right|{\small ~≦~}3\right)
\\[5pt]~~~&=&P(-3{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}3)
\\[5pt]~~~&=&2\cdot p(3)
\\[5pt]~~~&=&2{\, \small \times \,}0.49865
\\[5pt]~~~&=&0.9973
\end{eqnarray}\)
