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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\{\small 9.\}~ 1個のさいころを \( n \) 回投げて、\( 1 \) の目が出る回数を \( X \) とする。\( \left|\,\displaystyle \frac{\,X\,}{\,n\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\,\right| {\small ~≦~}0.03 \) となる確率が \( 0.95 \) 以上になるためには、\( n \) をどのくらい大きくするとよいか。\( 10 \) 未満を切り上げて答えよ。
数研出版｜数学Ｂ[710] p.111 演習問題B 9
さいころを投げる試行の結果を母集団とすると、\( 1 \) の目が出る母比率は、\( p=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \)
この母集団から大きさ \( n \) の標本を無作為に抽出するとき、\( 1 \) の目が出る相対度数 \( R=\displaystyle \frac{\,X\,}{\,n\,} \) が標本比率となる
この標本比率 \( R \) の期待値は、
\( E(R)=p=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \)
標準偏差は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \sigma(R)&=&\sqrt{\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\left(1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\right)\,}{\,n\,}}
\\[8pt]~~~&=&\sqrt{\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,5\,}{\,36\,}\,}{\,n\,}}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}\,}{\,6\sqrt{n}\,}
\end{eqnarray}\)
これより、標本比率 \( R \) は 正規分布 \( N\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,36n\,}\right) \) に従い、
ここで、\( Z=\displaystyle \frac{\,R-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\,}{\,\sigma(R)\,} \) とおくと、近似的に標準正規分布 \( N(0~,~1) \) に従う
よって、\(R-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~Z&=&\displaystyle \frac{\,R-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\,}{\,\sigma(R)\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,R-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\,}{\,\sigma(R)\,}&=&Z
\\[5pt]~~~R-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}&=&Z\cdot \sigma(R)
\\[5pt]~~~R-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}\,}{\,6\,}\cdot\displaystyle \frac{\,Z\,}{\,\sqrt{n}\,}\hspace{15pt}\left(\,∵~ \sigma(R)=\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}\,}{\,6\sqrt{n}\,}\,\right)
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,R-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\,}{\,\sigma(R)\,}&=&Z
\\[5pt]~~~R-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}&=&Z\cdot \sigma(R)
\\[5pt]~~~R-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}\,}{\,6\,}\cdot\displaystyle \frac{\,Z\,}{\,\sqrt{n}\,}\hspace{15pt}\left(\,∵~ \sigma(R)=\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}\,}{\,6\sqrt{n}\,}\,\right)
\end{eqnarray}\)
\( P\left(\left|\,R-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\,\right| {\small ~≦~} 0.03\right){\small ~≧~}0.95 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&P\left(\left|\,R-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\,\right| {\small ~≦~} 0.03\right)
\\[5pt]~~~&=&P\left(\left|\,\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}\,}{\,6\,}\cdot\displaystyle \frac{\,Z\,}{\,\sqrt{n}\,}\,\right|{\small ~≦~}0.03\right)
\\[5pt]~~~&=&P\left(\left|\,Z\,\right|{\small ~≦~}0.03{\,\small \times\,}\displaystyle \frac{\,6\sqrt{n}\,}{\,\sqrt{5}\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&P\left(\left|\,Z\,\right|{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,0.18\sqrt{n}\,}{\,\sqrt{5}\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&2\cdot p\left(\displaystyle \frac{\,0.18\sqrt{n}\,}{\,\sqrt{5}\,}\right)
\end{eqnarray}\)
これが \( 0.95 \) 以上となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~2\cdot p\left(\displaystyle \frac{\,0.18\sqrt{n}\,}{\,\sqrt{5}\,}\right)&{\small ~≧~}&0.95
\\[5pt]~~~p\left(\displaystyle \frac{\,0.18\sqrt{n}\,}{\,\sqrt{5}\,}\right)&{\small ~≧~}&0.475
\end{eqnarray}\)
正規分布表より、\( p(1.96)=0.4750 \) であるから、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,0.18\sqrt{n}\,}{\,\sqrt{5}\,}&{\small ~≧~}&1.96
\\[5pt]~~~0.18\sqrt{n}&{\small ~≧~}&1.96\sqrt{5}
\\[5pt]~~~\sqrt{n}&{\small ~≧~}&\displaystyle \frac{\,1.96\sqrt{5}\,}{\,0.18\,}
\\[5pt]~~~\sqrt{n}&{\small ~≧~}&\displaystyle \frac{\,1.96{\,\small \times\,}2.236\cdots\,}{\,0.18\,}
\\[5pt]~~~\sqrt{n}&{\small ~≧~}&24.35\cdots
\\[5pt]~~~n&{\small ~≧~}&593.1\cdots
\end{eqnarray}\)
\( 10 \) 未満を切り上げると、\( n{\small ~≧~}600 \)
