- 数学B｜統計的な推測「母平均の推定」の基本例題解説ページです。
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問題｜母平均の推定
統計的な推測 43ある製品の中から \(400\) 個を無作為に抽出したところ、重さの平均値が \( 30~{\rm g}\) であったとき、重さの母標準偏差を \( 5~{\rm g}\) として、この製品の重さの平均値 \( m \) に対する信頼度 \( 95 \) %の信頼区間で推定する方法は？
高校数学B｜統計的な推測
解法のPoint
母平均の推定
Point：母平均の推定
\(E=1.96\cdot \displaystyle \frac{\,\sigma\,}{\,\sqrt{n}\,}\) とおくと、
母平均 \( m \) に対する信頼度 \( 95 \) %の信頼区間は、
\(\left[\, \overline{X}-E~,~ \overline{X}+E \,\right]\)
または、
\(\overline{X}-E {\small ~≦~}m{\small ~≦~}\overline{X}+E\)
で表される。
母平均 \( m \)、母標準偏差 \( \sigma \) の母集団から、大きさ \( n \) の標本を無作為に抽出し、標本平均が \( \overline{X} \) となるとき、
\( n \) が大きければ、
\(E=1.96\cdot \displaystyle \frac{\,\sigma\,}{\,\sqrt{n}\,}\) とおくと、
母平均 \( m \) に対する信頼度 \( 95 \) %の信頼区間は、
\(\left[\, \overline{X}-E~,~ \overline{X}+E \,\right]\)
または、
\(\overline{X}-E {\small ~≦~}m{\small ~≦~}\overline{X}+E\)
で表される。
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詳しい解説｜母平均の推定
統計的な推測 43
ある製品の中から \(400\) 個を無作為に抽出したところ、重さの平均値が \( 30~{\rm g}\) であったとき、重さの母標準偏差を \( 5~{\rm g}\) として、この製品の重さの平均値 \( m \) に対する信頼度 \( 95 \) %の信頼区間で推定する方法は？
高校数学B｜統計的な推測
母平均 \( m\)、母標準偏差 \( \sigma=5~{\rm g} \) の母集団から、 大きさ \( n=400 \) の標本を無作為に抽出し、標本平均が \( \overline{X}=30 \) であるとき、
信頼度 \( 95 \) %であることより、\(E=1.96\cdot \displaystyle \frac{\,\sigma\,}{\,\sqrt{n}\,}\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~E&=&1.96\cdot \displaystyle \frac{\,\sigma\,}{\,\sqrt{n}\,}
\\[5pt]~~~&=&1.96\cdot \displaystyle \frac{\,5\,}{\,\sqrt{400}\,}
\\[5pt]~~~&=&1.96\cdot \displaystyle \frac{\,5\,}{\,20\,}
\\[5pt]~~~&=&1.96\cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&0.49
\end{eqnarray}\)
これより、
\(\overline{X}-E=30-0.49=29.51\)
\(\overline{X}+E=30+0.49=30.49\)
したがって、信頼度 \( 95 \) %の信頼区間は、
\(\left[\,29.51~,~30.49\,\right]\) ただし、単位は \( {\rm g} \)
となる
※ 東京書籍AdvancedやStandardでは、
\(29.51{\small ~≦~}m{\small ~≦~}30.49\) となり、
\(29.51~{\rm g}\) 以上 \(30.49~{\rm g}\) 以下となる
