- 数学B｜統計的な推測「母平均の推定と標本標準偏差」の基本例題解説ページです。
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問題｜母平均の推定と標本標準偏差
統計的な推測 44ある製品の中から \(900\) 個を無作為に抽出したところ、重さの平均値が \( 20~{\rm g} \) で標準偏差が \( 4~{\rm g} \) であったとき、この製品の重さの平均値 \( m \) に対する信頼度 \( 95 \) %の信頼区間で推定する方法は？
高校数学B｜統計的な推測
解法のPoint
母平均の推定と標本標準偏差
Point：母平均の推定と標本標準偏差
\(E_S=1.96\cdot \displaystyle \frac{\,S\,}{\,\sqrt{n}\,}\) とおくと、
母平均 \( m \) に対する信頼度 \( 95 \) %の信頼区間は、
\(\left[\, \overline{X}-E_S~,~ \overline{X}+E_S \,\right]\)
または、
\(\overline{X}-E_S{\small ~≦~}m{\small ~≦~}\overline{X}+E_S\)
で表される。
※ 母標準偏差 \(\sigma\) の代わりに、標本標準偏差 \(S\) を用いる。
母平均 \( m \) をもつ母集団から、大きさ \( n \) の標本を無作為に抽出し、標本平均が \( \overline{X} \)、標本標準偏差が \(S\) であるとき、
\( n \) が大きければ、
\(E_S=1.96\cdot \displaystyle \frac{\,S\,}{\,\sqrt{n}\,}\) とおくと、
母平均 \( m \) に対する信頼度 \( 95 \) %の信頼区間は、
\(\left[\, \overline{X}-E_S~,~ \overline{X}+E_S \,\right]\)
または、
\(\overline{X}-E_S{\small ~≦~}m{\small ~≦~}\overline{X}+E_S\)
で表される。
※ 母標準偏差 \(\sigma\) の代わりに、標本標準偏差 \(S\) を用いる。
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詳しい解説｜母平均の推定と標本標準偏差
統計的な推測 44
ある製品の中から \(900\) 個を無作為に抽出したところ、重さの平均値が \( 20~{\rm g} \) で標準偏差が \( 4~{\rm g} \) であったとき、この製品の重さの平均値 \( m \) に対する信頼度 \( 95 \) %の信頼区間で推定する方法は？
高校数学B｜統計的な推測
母平均 \(m\) の母集団から、大きさ \(n=900\) の標本を無作為に抽出し、標本平均 \(\overline{X}=20~{\rm g}\)、標本標準偏差 \(S=4~{\rm g}\) であるとき、
信頼度 \( 95 \) %であることより、\(E_S=1.96\cdot \displaystyle \frac{\,S\,}{\,\sqrt{n}\,}\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~E_S&=&1.96\cdot \displaystyle \frac{\,S\,}{\,\sqrt{n}\,}
\\[5pt]~~~&=&1.96\cdot \displaystyle \frac{\,4\,}{\,\sqrt{900}\,}
\\[5pt]~~~&=&1.96\cdot \displaystyle \frac{\,4\,}{\,30\,}
\\[5pt]~~~&=&0.2613\cdots{\small ~≒~}0.26
\end{eqnarray}\)
これより、
\(\overline{X}-E_S=20-0.26=19.74\)
\(\overline{X}+E_S=20+0.26=20.26\)
したがって、信頼度 \( 95 \) %の信頼区間は、
\(\left[\,19.74~,~20.26\,\right]\) ただし、単位は \( {\rm g} \)
となる
※ 東京書籍AdvancedやStandardでは、
\(19.74{\small ~≦~}m{\small ~≦~}20.26\) となり、
\(19.74~{\rm g}\) 以上 \(20.26~{\rm g}\) 以下となる
