- 数学B｜統計的な推測「母平均の信頼区間の幅」の基本例題解説ページです。
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問題｜母平均の信頼区間の幅
統計的な推測 45ある製品1個あたりの重さの母標準偏差が \( 5~{\rm g} \) で、母平均 \( m \) を信頼度 \( 95 \) %で推定するとき、信頼区間の幅を \( 0.5~{\rm g} \) 以下にするためには、標本の大きさ \( n \) を少なくともいくらにすればよいか？
高校数学B｜統計的な推測
解法のPoint
母平均の信頼区間の幅
Point：母平均の信頼区間の幅
\(E=1.96\cdot \displaystyle \frac{\,\sigma\,}{\,\sqrt{n}\,}\) とおくと、
母平均 \( m \) に対する信頼度 \( 95 \) %の信頼区間は、
\(\left[\, \overline{X}-E~,~ \overline{X}+E \,\right]\)
これより、信頼区間の幅は、
\(2E=2{\, \small \times \,}1.96\cdot \displaystyle \frac{\,\sigma\,}{\,\sqrt{n}\,}\)
母平均 \( m \)、母標準偏差 \( \sigma \) の母集団から、大きさ \( n \) の標本を無作為に抽出し、標本平均が \( \overline{X} \) となるとき、
\( n \) が大きければ、
\(E=1.96\cdot \displaystyle \frac{\,\sigma\,}{\,\sqrt{n}\,}\) とおくと、
母平均 \( m \) に対する信頼度 \( 95 \) %の信頼区間は、
\(\left[\, \overline{X}-E~,~ \overline{X}+E \,\right]\)
これより、信頼区間の幅は、
\(2E=2{\, \small \times \,}1.96\cdot \displaystyle \frac{\,\sigma\,}{\,\sqrt{n}\,}\)
で表される。
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詳しい解説｜母平均の信頼区間の幅
統計的な推測 45
ある製品1個あたりの重さの母標準偏差が \( 5~{\rm g} \) で、母平均 \( m \) を信頼度 \( 95 \) %で推定するとき、信頼区間の幅を \( 0.5~{\rm g} \) 以下にするためには、標本の大きさ \( n \) を少なくともいくらにすればよいか？
高校数学B｜統計的な推測
母平均 \( m \)、母標準偏差 \( \sigma=5~{\rm g} \) の母集団から、大きさ \( n \) の標本を無作為に抽出したとき、
信頼度 \( 95 \)% より、信頼区間の幅は、
\(\begin{eqnarray}~~~2E&=&2{\, \small \times \,}1.96\cdot \displaystyle \frac{\,\sigma\,}{\,\sqrt{n}\,}
\\[5pt]~~~&=&2{\, \small \times \,} 1.96 \cdot \displaystyle \frac{\,5\,}{\,\sqrt{n}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,19.6\,}{\,\sqrt{n}\,}
\end{eqnarray}\)
この値が \( 0.5 \) 以下となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,19.6\,}{\,\sqrt{n}\,}&{\small ~≦~}&0.5
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,19.6\,}{\,0.5\,}&{\small ~≦~}&\sqrt{n}
\\[5pt]~~~39.2&{\small ~≦~}&\sqrt{n}
\\[5pt]~~~\sqrt{n}&{\small ~≧~}&39.2
\end{eqnarray}\)
両辺を2乗すると、
\(\hspace{19pt}~~~n {\small ~≧~} 1536.64 \)
したがって、少なくとも \( n=1537 \) とする
