このページは、「母平均の信頼区間の幅」の練習問題アーカイブページとなります。
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母平均の信頼区間の幅 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01ある工場で生産されている LED 電球の寿命時間の標準偏差は \(1000\) 時間であることが知られている。いま、この工場の LED 電球の寿命時間の平均値を信頼度 \(95\%\) で推定するために、何個かを抽出して調査したい。信頼区間の幅を \(200\) 時間以下にするためには、何個以上調査すればよいか。
数研出版｜新編数学Ｂ[712] p.101 章末問題B 10
母標準偏差を \( \sigma \)、標本の大きさを \( n \) とすると、
\(n\) が大きいとき、標本平均は母平均に近づくと考えられる
よって、信頼度 \(95\%\) の信頼区間の幅は、
\(\begin{eqnarray}~~~2E&=&2{\, \small \times \,} 1.96\cdot \displaystyle \frac{\,\sigma\,}{\,\sqrt{n}\,}
\\[5pt]~~~&=&2{\, \small \times \,} 1.96\cdot \displaystyle \frac{\,1000\,}{\,\sqrt{n}\,}
\end{eqnarray}\)
これが \(200\) 以下となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~2\cdot 1.96\cdot \displaystyle \frac{\,1000\,}{\,\sqrt{n}\,}&{\small ~≦~}&200
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,3920\,}{\,\sqrt{n}\,}&{\small ~≦~}&200
\\[5pt]~~~3920&{\small ~≦~}&200\sqrt{n}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,3920\,}{\,200\,}&{\small ~≦~}&\sqrt{n}
\\[5pt]~~~19.6&{\small ~≦~}&\sqrt{n}
\\[5pt]~~~\sqrt{n}&{\small ~≧~}&19.6
\end{eqnarray}\)
両辺を2乗すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{20pt}~~~n&{\small ~≧~}&384.16
\end{eqnarray}\)
したがって、\(385\) 個以上を調査すればよい
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02ある工場で製造した電球の中から \(625\) 個を標本抽出し電球の寿命を調べたところ、平均が \(1410\) 時間、標準偏差が \(200\) 時間であった。この工場で製造した電球の平均寿命 \(m\) に対する信頼度 \(95\%\) の信頼区間を求めよ。また、信頼度 \(95\%\) で平均寿命 \(m\) を推定するとき、信頼区間の幅を \(10\) 時間以下にするには標本の大きさを少なくともいくらにすればよいか。
東京書籍｜Advanced数学Ｂ[701] p.105 練習問題B 10
母平均 \(m\) の母集団から、大きさ \(n=625\) の標本を無作為に抽出し、標本平均 \(\overline{X}=1410\)（時間）、標本標準偏差 \(S=200\)（時間）であるとき、
信頼度 \( 95 \) %であることより、\(E_S=1.96\cdot \displaystyle \frac{\,S\,}{\,\sqrt{n}\,}\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~E_S&=&1.96\cdot \displaystyle \frac{\,S\,}{\,\sqrt{n}\,}
\\[5pt]~~~&=&1.96\cdot \displaystyle \frac{\,200\,}{\,\sqrt{625}\,}
\\[5pt]~~~&=&1.96\cdot \displaystyle \frac{\,200\,}{\,25\,}
\\[5pt]~~~&=&1.96\cdot 8
\\[5pt]~~~&=&15.68
\end{eqnarray}\)
これより、
\(\overline{X}-E_S=1410-15.68=1394.32\)
\(\overline{X}+E_S=1410+15.68=1425.68\)
したがって、信頼度 \( 95 \) %の信頼区間は、
\(1394.32{\small ~≦~}m{\small ~≦~}1425.68\) となる
信頼度 \(95\%\) の信頼区間の幅は、
\(\begin{eqnarray}~~~2E&=&2{\, \small \times \,} 1.96\cdot \displaystyle \frac{\,s\,}{\,\sqrt{n}\,}
\\[5pt]~~~&=&2{\, \small \times \,} 1.96\cdot \displaystyle \frac{\,200\,}{\,\sqrt{n}\,}
\end{eqnarray}\)
これが \(10\) 以下となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~2\cdot 1.96\cdot \displaystyle \frac{\,200\,}{\,\sqrt{n}\,}&{\small ~≦~}&10
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,784\,}{\,\sqrt{n}\,}&{\small ~≦~}&10
\\[5pt]~~~784&{\small ~≦~}&10\sqrt{n}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,784\,}{\,10\,}&{\small ~≦~}&\sqrt{n}
\\[5pt]~~~78.4&{\small ~≦~}&\sqrt{n}
\\[5pt]~~~\sqrt{n}&{\small ~≧~}&78.4
\end{eqnarray}\)
両辺を2乗すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{20pt}~~~n&{\small ~≧~}&6146.56
\end{eqnarray}\)
したがって、\(6147\) 個以上
