- 数学B｜統計的な推測「母比率の推定」の基本例題解説ページです。
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問題｜母比率の推定
統計的な推測 46ある製品の中から \(900\) 個を無作為に抽出し調べたところ \(90\) 個の不良品があったとき、この製品の不良率 \( p \) に対する信頼度 \( 95 \) %の信頼区間で推定する方法は？
高校数学B｜統計的な推測
解法のPoint
母比率の推定
Point：母比率の推定
\(E_p=1.96\cdot\sqrt{\displaystyle \frac{\,R(1-R)\,}{\,n\,}}\) とおくと、
母比率 \( p \) に対する信頼度 \(95\) %の信頼区間は、
\(\begin{eqnarray}\left[\,R-E_p~,~R+E_p\,\right]\end{eqnarray}\)
または、
\(\begin{eqnarray}R-E_p{\small ~≦~}p{\small ~≦~}R+E_p\end{eqnarray}\)
で表される。
母比率 \( p \) の母集団から大きさ \( n \) の標本を無作為に抽出し、標本比率が \( R \) となるとき、
\( n \) が大きければ、
\(E_p=1.96\cdot\sqrt{\displaystyle \frac{\,R(1-R)\,}{\,n\,}}\) とおくと、
母比率 \( p \) に対する信頼度 \(95\) %の信頼区間は、
\(\begin{eqnarray}\left[\,R-E_p~,~R+E_p\,\right]\end{eqnarray}\)
または、
\(\begin{eqnarray}R-E_p{\small ~≦~}p{\small ~≦~}R+E_p\end{eqnarray}\)
で表される。
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詳しい解説｜母比率の推定
統計的な推測 46
ある製品の中から \(900\) 個を無作為に抽出し調べたところ \(90\) 個の不良品があったとき、この製品の不良率 \( p \) に対する信頼度 \( 95 \) %の信頼区間で推定する方法は？
高校数学B｜統計的な推測
母比率 \( p \) の母集団から大きさ \( n=900 \) の標本を無作為に抽出し、不良品が \( 90 \) 個あることより、標本比率 \( R \) は、
\(\begin{eqnarray}~R&=&\displaystyle \frac{\,90\,}{\,900\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,10\,}=0.1
\end{eqnarray}\)
信頼度 \(95\) %より、\(E_p=1.96\cdot\sqrt{\displaystyle \frac{\,R(1-R)\,}{\,n\,}}\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~E_p&=&1.96\cdot \sqrt{\displaystyle \frac{\,R(1-R)\,}{\,n\,}}
\\[5pt]~&=&1.96\cdot \sqrt{\displaystyle \frac{\,0.1(1-0.1)\,}{\,900\,}}
\\[5pt]~&=&1.96\cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{0.1\cdot 0.9}\,}{\,\sqrt{900}\,}
\\[5pt]~&=&1.96\cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{\displaystyle \frac{\,9\,}{\,100\,}}\,}{\,30\,}
\\[5pt]~&=&1.96\cdot \displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,3\,}{\,10\,}\,}{\,30\,}
\\[5pt]~&=&1.96\cdot \displaystyle \frac{\,3\,}{\,300\,}
\\[5pt]~&=&1.96\cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,100\,}
\\[5pt]~&=&0.0196
\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~R-E_p&=&0.1-0.0196
\\[5pt]~&=&0.0804
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~R+E_p&=&0.1+0.0196
\\[5pt]~&=&0.1196
\end{eqnarray}\)
したがって、信頼度 \( 95 \) %の信頼区間は、
\(\begin{eqnarray}~[\,0.0804~,~0.1196\,]\end{eqnarray}\)
※ 東京書籍AdvancedやStandardでは、
\(\begin{eqnarray}~~~0.0804{\small ~≦~}p{\small ~≦~}0.1196\end{eqnarray}\)
