このページは、「母比率の信頼区間の幅」の練習問題アーカイブページとなります。
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母比率の信頼区間の幅 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01ある意見に対する賛成率は約 \(60\%\) と予想されている。この意見に対する賛成率を、信頼区間の幅が \(4\%\) 以下になるように推定したい。信頼度 \(95\%\) で推定するには、何人以上抽出して調べればよいか。
数研出版｜数学Ｂ[710] p.111 演習問題B 10
標本比率を \( R \)、標本の大きさを \( n \) とすると、
\(n\) が大きいとき、標本比率 \(R\) は母比率 \( 0.6 \) に近づくと考えられる
よって、信頼度 \(95\%\) の信頼区間の幅は、
\(\begin{eqnarray}~~~2E_p&=&2{\, \small \times \,} 1.96\cdot \sqrt{ \displaystyle \frac{\,R(1-R)\,}{\,n\,} }
\\[5pt]~~~&=&2{\, \small \times \,} 1.96\cdot \sqrt{ \displaystyle \frac{\,0.6\cdot 0.4\,}{\,n\,} }
\end{eqnarray}\)
これが \(0.04\) 以下となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~2\cdot 1.96\cdot \sqrt{ \displaystyle \frac{\,0.6\cdot 0.4\,}{\,n\,} }&{\small ~≦~}&0.04
\\[5pt]~~~2\cdot 1.96\cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{ 0.6\cdot 0.4}\,}{\,\sqrt{ n}\,}
&{\small ~≦~}&0.04
\\[5pt]~~~2\cdot 1.96\cdot \sqrt{\displaystyle \frac{\,6\,}{\,10\,}\cdot \displaystyle \frac{\,4\,}{\,10\,}}&{\small ~≦~}&0.04\sqrt{n}
\\[5pt]~~~2\cdot 1.96\cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{24}\,}{\,10\,}&{\small ~≦~}&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,100\,}\sqrt{n}
\\[5pt]~~~2\cdot 1.96\cdot \displaystyle \frac{\,2\sqrt{6}\,}{\,10\,}\cdot \displaystyle \frac{\,100\,}{\,4\,}&{\small ~≦~}&\sqrt{n}
\\[5pt]~~~19.6\cdot \sqrt{6}&{\small ~≦~}&\sqrt{n}
\\[5pt]~~~\sqrt{n}&{\small ~≧~}&19.6\cdot \sqrt{6}
\end{eqnarray}\)
両辺を2乗すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{20pt}~~~n&{\small ~≧~}&384.16\cdot 6
\\[5pt]~~~n&{\small ~≧~}&2304.96
\end{eqnarray}\)
したがって、\(2305\) 人以上を抽出すればよい
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02ある政党の支持率は約 \(40\%\) であると予想されている。この支持率を、信頼区間の幅が \(4\%\) 以下となるように推定したい。信頼度 \(95\%\) で推定するには、何人以上を抽出して調べればよいか。
数研出版｜高等学校数学Ｂ[711] p.108 章末問題B 11
標本比率を \( R \)、標本の大きさを \( n \) とすると、
\(n\) が大きいとき、標本比率 \(R\) は母比率 \( 0.4 \) に近づくと考えられる
よって、信頼度 \(95\%\) の信頼区間の幅は、
\(\begin{eqnarray}~~~2E_p&=&2{\, \small \times \,} 1.96\cdot \sqrt{ \displaystyle \frac{\,R(1-R)\,}{\,n\,} }
\\[5pt]~~~&=&2{\, \small \times \,} 1.96\cdot \sqrt{ \displaystyle \frac{\,0.4\cdot 0.6\,}{\,n\,} }
\end{eqnarray}\)
これが \(0.04\) 以下となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~2\cdot 1.96\cdot \sqrt{ \displaystyle \frac{\,0.4\cdot 0.6\,}{\,n\,} }&{\small ~≦~}&0.04
\\[5pt]~~~2\cdot 1.96\cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{ 0.4\cdot 0.6}\,}{\,\sqrt{ n}\,}
&{\small ~≦~}&0.04
\\[5pt]~~~2\cdot 1.96\cdot \sqrt{\displaystyle \frac{\,4\,}{\,10\,}\cdot \displaystyle \frac{\,6\,}{\,10\,}}&{\small ~≦~}&0.04\sqrt{n}
\\[5pt]~~~2\cdot 1.96\cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{24}\,}{\,10\,}&{\small ~≦~}&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,100\,}\sqrt{n}
\\[5pt]~~~2\cdot 1.96\cdot \displaystyle \frac{\,2\sqrt{6}\,}{\,10\,}\cdot \displaystyle \frac{\,100\,}{\,4\,}&{\small ~≦~}&\sqrt{n}
\\[5pt]~~~19.6\cdot \sqrt{6}&{\small ~≦~}&\sqrt{n}
\\[5pt]~~~\sqrt{n}&{\small ~≧~}&19.6\cdot \sqrt{6}
\end{eqnarray}\)
両辺を2乗すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{20pt}~~~n&{\small ~≧~}&384.16\cdot 6
\\[5pt]~~~n&{\small ~≧~}&2304.96
\end{eqnarray}\)
したがって、\(2305\) 人以上を抽出すればよい
