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問題｜母比率の仮説検定(両側検定5%)
統計的な推測 48硬貨を \(100\) 回投げて表が \(58\) 回出たとき、この硬貨は表と裏の出方に偏りがあると判断してよいか有意水準 \( 5 \) %で検定する方法は？また、表が \(60\) 回のときでは？ただし、\( P(\,-1.96{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}1.96\,){\small ~≒~}0.95~,~\)\(p(1.6)=0.4452~,~\)\(p(2)=0.4772 \) とする。
高校数学B｜統計的な推測
この問題の解法は複数種類あるので、使っている教科書や問題集などに対応した解法を選びましょう。
・数研出版の教科書→棄却域タイプ
・問題集など→正規分布表タイプ
・東京書籍の教科書→標本比率タイプ
母比率の仮説検定(両側検定5%)｜棄却域タイプ
解法のPoint｜棄却域タイプ
Point：棄却域タイプ｜母比率の仮説検定(両側検定5%)有意水準 \( 5 \) %の母比率の仮説検定(両側検定)は、
① 判断したい説に反する仮説を立てる。
硬貨の表裏の出方に偏りがある(判断したい)
(仮説)硬貨の表と裏の出方に偏りがないとする
② 仮説が正しいとして、確率変数 \( X \) の期待値(平均)と標準偏差を求めて、標準正規分布に従う \( Z \) に変換する。
\( n=100 \) が大きいとき、
二項分布 \( B(100~,~0.5) \) より、
\(m=n\,p=50\)
\(\sigma=\sqrt{\,n\,p\,(1-p)\,}=5\)
変換の式は、\(Z=\displaystyle \frac{\,X-m\,}{\,\sigma\,}=\displaystyle \frac{\,X-50\,}{\,5\,}\)
③ 有意水準より棄却域を求める。
\( P(\,-1.96{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}1.96\,){\small ~≒~}0.95 \) より、
有意水準 \( 5 \) %の両側検定の棄却域は、
\(Z{\small ~≦~}-1.96~,~1.96{\small ~≦~}Z\)
④ \(X\) の値を \(Z\) に変換して、\(Z\) の値が棄却域に入るかどうかを調べる。
\(X=60\) のとき、\(Z=2.0\)
→ 棄却域に入る(めったに起こらない事象)
→ 偏りがないという仮説を棄却
→ 偏りがあると判断できる
\(X=58\) のとき、\(Z=1.6\)
→ 棄却域に入らない(十分起こりうる事象)
→ 偏りがないという仮説を棄却できない
→ 偏りがあると判断できない
① 判断したい説に反する仮説を立てる。
硬貨の表裏の出方に偏りがある(判断したい)
(仮説)硬貨の表と裏の出方に偏りがないとする
② 仮説が正しいとして、確率変数 \( X \) の期待値(平均)と標準偏差を求めて、標準正規分布に従う \( Z \) に変換する。
\( n=100 \) が大きいとき、
二項分布 \( B(100~,~0.5) \) より、
\(m=n\,p=50\)
\(\sigma=\sqrt{\,n\,p\,(1-p)\,}=5\)
変換の式は、\(Z=\displaystyle \frac{\,X-m\,}{\,\sigma\,}=\displaystyle \frac{\,X-50\,}{\,5\,}\)
③ 有意水準より棄却域を求める。
\( P(\,-1.96{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}1.96\,){\small ~≒~}0.95 \) より、
有意水準 \( 5 \) %の両側検定の棄却域は、
\(Z{\small ~≦~}-1.96~,~1.96{\small ~≦~}Z\)
④ \(X\) の値を \(Z\) に変換して、\(Z\) の値が棄却域に入るかどうかを調べる。
\(X=60\) のとき、\(Z=2.0\)
→ 棄却域に入る(めったに起こらない事象)
→ 偏りがないという仮説を棄却
→ 偏りがあると判断できる
\(X=58\) のとき、\(Z=1.6\)
→ 棄却域に入らない(十分起こりうる事象)
→ 偏りがないという仮説を棄却できない
→ 偏りがあると判断できない
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詳しい解説｜棄却域タイプ
統計的な推測 48
硬貨を \(100\) 回投げて表が \(58\) 回出たとき、この硬貨は表と裏の出方に偏りがあると判断してよいか有意水準 \( 5 \) %で検定する方法は？また、表が \(60\) 回のときでは？ただし、\( P(\,-1.96{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}1.96\,){\small ~≒~}0.95~,~\)\(p(1.6)=0.4452~,~\)\(p(2)=0.4772 \) とする。
高校数学B｜統計的な推測
この硬貨の表と裏に偏りがあると判断したいので、表と裏の出方に偏りがないと仮説を立てる
その確率は \( p=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}=0.5 \) となる
仮説が正しいとすると、\(100\) 回中 表が出る回数 \( X \) は二項分布 \( B\left(100~,~0.5\right) \) に従う
よって、確率変数 \( X \) の期待値(平均)と標準偏差は、
\(~~~m=100{\, \small \times \,}0.5=50\)
\(\begin{eqnarray}~~~\sigma&=&\sqrt{\,100{\, \small \times \,}0.5{\, \small \times \,}(1-0.5)\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{25}=5
\end{eqnarray}\)
これより、確率変数 \( X \) は近似的に正規分布 \( N\left(50~,~5^2\right) \) に従う
また、\(Z=\displaystyle \frac{\,X-50\,}{\,5\,}~~~\cdots \small [\,1\,]\) とおくと、
確率変数 \(Z\) は標準正規分布 \( N(0~,~1) \) に従う
ここで、\( P(\,-1.96{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}1.96\,){\small ~≒~}0.95 \) より、有意水準 5% の棄却域は、
\(Z{\small ~≦~}-1.96~,~1.96{\small ~≦~}Z~~~\cdots \small [\,2\,]\)
\({\small (1)}~\)\( X=58 \) のとき、\(\small [\,1\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~Z&=&\displaystyle \frac{\,58-50\,}{\,5\,}=\displaystyle \frac{\,8\,}{\,5\,}=1.6
\end{eqnarray}\)
これは \(\small [\,2\,]\) の棄却域に入らないので、仮説を棄却できない
この硬貨の表と裏に偏りがあると判断できない
\({\small (2)}~\)\( X=60 \) のとき、\(\small [\,1\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~Z&=&\displaystyle \frac{\,60-50\,}{\,5\,}=\displaystyle \frac{\,10\,}{\,5\,}=2.0
\end{eqnarray}\)
これは \(\small [\,2\,]\) の棄却域に入るので、仮説を棄却できる
この硬貨の表と裏に偏りがあると判断できる
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母比率の仮説検定(両側検定5%)
母比率の仮説検定(両側検定5%)｜正規分布表タイプ
解法のPoint｜正規分布表タイプ
Point：母比率の仮説検定(両側検定5%)有意水準 \( 5 \) %の母比率の仮説検定(両側検定)は、
① 判断したい説に反する仮説を立てる。
硬貨の表裏の出方に偏りがある(判断したい)
(仮説)硬貨の表と裏の出方に偏りがないとする
② 仮説が正しいとして、確率変数 \( X \) の期待値(平均)と標準偏差を求めて、標準正規分布に従う \( Z \) に変換する。
\( n=100 \) が大きいとき、
二項分布 \( B(100~,~0.5) \) より、
\(m=n\,p=50\)
\(\sigma=\sqrt{\,n\,p\,(1-p)\,}=5\)
変換の式は、\(Z=\displaystyle \frac{\,X-m\,}{\,\sigma\,}=\displaystyle \frac{\,X-50\,}{\,5\,}\)
③ \(X\) の値から \(Z\) を求めて、確率変数 \(Z\) の絶対値がその値以上となる確率を求める。
\(X=58\) のとき、\(Z=1.6\)
よって、正規分布表より、
\(P\left(\left|Z\right|{\small ~≧~}1.6\right)=0.1096\)
④ 求めた確率と有意水準 \( 5 \) %を比較する。
・ 求めた確率が有意水準 \( 5 \) %より小さい
→ めったに起こらない事象が起こる
→ 偏りがないという仮説を棄却
→ 偏りがあると判断できる
・ 求めた確率が有意水準 \( 5 \) %より大きい
→ 十分起こりうる事象が起こる
→ 偏りがないという仮説を棄却できない
→ 偏りがあると判断できない
① 判断したい説に反する仮説を立てる。
硬貨の表裏の出方に偏りがある(判断したい)
(仮説)硬貨の表と裏の出方に偏りがないとする
② 仮説が正しいとして、確率変数 \( X \) の期待値(平均)と標準偏差を求めて、標準正規分布に従う \( Z \) に変換する。
\( n=100 \) が大きいとき、
二項分布 \( B(100~,~0.5) \) より、
\(m=n\,p=50\)
\(\sigma=\sqrt{\,n\,p\,(1-p)\,}=5\)
変換の式は、\(Z=\displaystyle \frac{\,X-m\,}{\,\sigma\,}=\displaystyle \frac{\,X-50\,}{\,5\,}\)
③ \(X\) の値から \(Z\) を求めて、確率変数 \(Z\) の絶対値がその値以上となる確率を求める。
\(X=58\) のとき、\(Z=1.6\)
よって、正規分布表より、
\(P\left(\left|Z\right|{\small ~≧~}1.6\right)=0.1096\)
④ 求めた確率と有意水準 \( 5 \) %を比較する。
・ 求めた確率が有意水準 \( 5 \) %より小さい
→ めったに起こらない事象が起こる
→ 偏りがないという仮説を棄却
→ 偏りがあると判断できる
・ 求めた確率が有意水準 \( 5 \) %より大きい
→ 十分起こりうる事象が起こる
→ 偏りがないという仮説を棄却できない
→ 偏りがあると判断できない
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詳しい解説｜正規分布表タイプ
統計的な推測 48
硬貨を \(100\) 回投げて表が \(58\) 回出たとき、この硬貨は表と裏の出方に偏りがあると判断してよいか有意水準 \( 5 \) %で検定する方法は？また、表が \(60\) 回のときでは？ただし、\( P(\,-1.96{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}1.96\,){\small ~≒~}0.95~,~\)\(p(1.6)=0.4452~,~\)\(p(2)=0.4772 \) とする。
高校数学B｜統計的な推測
【別解】
この硬貨の表と裏に偏りがあると判断したいので、表と裏の出方に偏りがないと仮説を立てる
その確率は \( p=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}=0.5 \) となる
仮説が正しいとすると、\(100\) 回中 表が出る回数 \( X \) は二項分布 \( B\left(100~,~0.5\right) \) に従う
よって、確率変数 \( X \) の期待値(平均)と標準偏差は、
\(~~~m=100{\, \small \times \,}0.5=50\)
\(\begin{eqnarray}~~~\sigma&=&\sqrt{\,100{\, \small \times \,}0.5{\, \small \times \,}(1-0.5)\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{25}=5
\end{eqnarray}\)
これより、確率変数 \( X \) は近似的に正規分布 \( N\left(50~,~5^2\right) \) に従う
また、\(Z=\displaystyle \frac{\,X-50\,}{\,5\,}~~~\cdots \small [\,1\,]\) とおくと、
確率変数 \(Z\) は標準正規分布 \( N(0~,~1) \) に従う
\({\small (1)}~\)\( X=58 \) のとき、\(\small [\,1\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~Z&=&\displaystyle \frac{\,58-50\,}{\,5\,}=\displaystyle \frac{\,8\,}{\,5\,}=1.6
\end{eqnarray}\)
よって、確率変数 \(Z\) の絶対値が \(1.6\) 以上となる確率は、
正規分布表より、\(p(1.6)=0.4452\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}P\left(\left|Z\right|{\small ~≧~}1.6\right)&=&2\cdot P(Z{\small ~≧~}1.6)
\\[3pt]~~&=&2\cdot \left\{0.5-p(1.6)\right\}
\\[3pt]~~&=&2\cdot \left(0.5-0.4452\right)
\\[3pt]~~&=&2{\, \small \times \,}0.0548
\\[3pt]~~&=&0.1096
\end{eqnarray}\)
したがって、\(10.96\) %となり、有意水準 \(5\) %よりも大きくなり、仮説を棄却できない
この硬貨の表と裏に偏りがあると判断できない
\({\small (2)}~\)\( X=60 \) のとき、\(\small [\,1\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~Z&=&\displaystyle \frac{\,60-50\,}{\,5\,}=\displaystyle \frac{\,10\,}{\,5\,}=2.0
\end{eqnarray}\)
よって、確率変数 \(Z\) の絶対値が \(2.0\) 以上となる確率は、
正規分布表より、\(p(2)=0.4772\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}P\left(\left|Z\right|{\small ~≧~}2.0\right)&=&2\cdot P(Z{\small ~≧~}2.0)
\\[3pt]~~&=&2\cdot \left(0.5-p(2)\right)
\\[3pt]~~&=&2\cdot \left(0.5-0.4772\right)
\\[3pt]~~&=&2{\, \small \times \,}0.0228
\\[3pt]~~&=&0.0456
\end{eqnarray}\)
したがって、\(4.56\) %となり、有意水準 \(5\) %よりも小さくなり、仮説を棄却できる
この硬貨の表と裏に偏りがあると判断できる
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母比率の仮説検定(両側検定5%)
母比率の仮説検定(両側検定5%)｜標本比率タイプ
解法のPoint｜標本比率タイプ
Point：母比率の仮説検定(両側検定5%)有意水準 \( 5 \) %の母比率の仮説検定(両側検定)は、
① 帰無仮説と対立仮説を立てる。
偏りがないことを帰無仮説 \(p=0.5\)
偏りがあることを対立仮説 \(p\ne 0.5\)
② 帰無仮説が正しいとして、標本比率 \(p^{\prime}\) より、標準正規分布に従う \( Z \) に変換する。
期待値(平均)は、\(E(p^{\prime})=p=0.5\)
標準偏差は、\(\sigma(p^{\prime})=\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,p(1-p)\,}{\,n\,}}=0.05\)
変換の式は、\(Z=\displaystyle \frac{\,p^{\prime}-p\,}{\,\sigma(p^{\prime})\,}\)
③ \(X\) の値から標本比率 \(p^{\prime}\) を求めて、母比率 \(p\) との差を求める。
\(X=58\) のとき、\(p^{\prime}=\displaystyle \frac{\,X\,}{\,n\,}=0.58\)
よって、\(\left|\,p^{\prime}-p\,\right|=0.08\)
④ 標本比率と母比率との差の絶対値が③の値以上となる確率を求める。
\(\left|\,p^{\prime}-p\,\right|{\small ~≧~}0.08\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\left|\displaystyle \frac{\,p^{\prime}-p\,}{\,\sigma(p^{\prime})\,}\right|
&{\small ~≧~}&
\displaystyle \frac{\,0.08\,}{\,\sigma(p^{\prime})\,}
\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{split}&P\left(\,\left|\,p^{\prime}-p\,\right|{\small ~≧~}0.08\,\right)
\\[5pt]~~=~&P\left(\left|Z\right|{\small ~≧~}1.6\right)=0.1096\end{split}\)
⑤ 求めた確率と有意水準 \( 5 \) %を比較する。
・ 求めた確率が有意水準 \( 5 \) %より小さい
→ めったに起こらない事象が起こる
→ 偏りがないという帰無仮説を棄却
→ 偏りがあると判断できる
・ 求めた確率が有意水準 \( 5 \) %より大きい
→ 十分起こりうる事象が起こる
→ 偏りがないという帰無仮説を棄却できない
→ 偏りがあると判断できない
① 帰無仮説と対立仮説を立てる。
偏りがないことを帰無仮説 \(p=0.5\)
偏りがあることを対立仮説 \(p\ne 0.5\)
② 帰無仮説が正しいとして、標本比率 \(p^{\prime}\) より、標準正規分布に従う \( Z \) に変換する。
期待値(平均)は、\(E(p^{\prime})=p=0.5\)
標準偏差は、\(\sigma(p^{\prime})=\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,p(1-p)\,}{\,n\,}}=0.05\)
変換の式は、\(Z=\displaystyle \frac{\,p^{\prime}-p\,}{\,\sigma(p^{\prime})\,}\)
③ \(X\) の値から標本比率 \(p^{\prime}\) を求めて、母比率 \(p\) との差を求める。
\(X=58\) のとき、\(p^{\prime}=\displaystyle \frac{\,X\,}{\,n\,}=0.58\)
よって、\(\left|\,p^{\prime}-p\,\right|=0.08\)
④ 標本比率と母比率との差の絶対値が③の値以上となる確率を求める。
\(\left|\,p^{\prime}-p\,\right|{\small ~≧~}0.08\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\left|\displaystyle \frac{\,p^{\prime}-p\,}{\,\sigma(p^{\prime})\,}\right|
&{\small ~≧~}&
\displaystyle \frac{\,0.08\,}{\,\sigma(p^{\prime})\,}
\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{split}&P\left(\,\left|\,p^{\prime}-p\,\right|{\small ~≧~}0.08\,\right)
\\[5pt]~~=~&P\left(\left|Z\right|{\small ~≧~}1.6\right)=0.1096\end{split}\)
⑤ 求めた確率と有意水準 \( 5 \) %を比較する。
・ 求めた確率が有意水準 \( 5 \) %より小さい
→ めったに起こらない事象が起こる
→ 偏りがないという帰無仮説を棄却
→ 偏りがあると判断できる
・ 求めた確率が有意水準 \( 5 \) %より大きい
→ 十分起こりうる事象が起こる
→ 偏りがないという帰無仮説を棄却できない
→ 偏りがあると判断できない
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜標本比率タイプ
統計的な推測 48
硬貨を \(100\) 回投げて表が \(58\) 回出たとき、この硬貨は表と裏の出方に偏りがあると判断してよいか有意水準 \( 5 \) %で検定する方法は？また、表が \(60\) 回のときでは？ただし、\( P(\,-1.96{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}1.96\,){\small ~≒~}0.95~,~\)\(p(1.6)=0.4452~,~\)\(p(2)=0.4772 \) とする。
高校数学B｜統計的な推測
硬貨を投げて表が出る確率を \( p \) とすると、
帰無仮説は、\( p=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}=0.5 \)
対立仮説は、\( p\ne 0.5 \)
また、標本比率を \( p^{\prime} \) とすると、
期待値(平均)は、
\(~~~E(p^{\prime})=p=0.5\)
標準偏差は、
\(\begin{eqnarray}~~~\sigma(p^{\prime})&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,p(1-p)\,}{\,n\,}}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,0.5\cdot (1-0.5)\,}{\,100\,}}
\\[5pt]~~~&=&\,\displaystyle \frac{\,\sqrt{0.5\cdot 0.5}\,}{\,\sqrt{100}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0.5\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&0.05
\end{eqnarray}\)
\( Z=\displaystyle \frac{\,p^{\prime}-p\,}{\,\sigma(p^{\prime})\,} \) とおくと、
確率変数 \( Z \) は標準正規分布 \(N(0~,~1)\) に従う
\({\small (1)}~\)\(X=58\) のとき、標本比率 \( p^{\prime} \) は、
\(\begin{eqnarray}~~~p^{\prime}&=&\displaystyle \frac{\,X\,}{\,n\,}=\displaystyle \frac{\,58\,}{\,100\,}=0.58
\end{eqnarray}\)
ここで、標本比率と母比率の差の絶対値が \( 0.08 \) 以上となる確率を考えると、
\(~~~\left|\,p^{\prime}-p\,\right|{\small ~≧~}0.08\)
両辺を \( \sigma(p^{\prime}) \) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\left|\displaystyle \frac{\,p^{\prime}-p\,}{\,\sigma(p^{\prime})\,}\right|
&{\small ~≧~}&
\displaystyle \frac{\,0.08\,}{\,\sigma(p^{\prime})\,}
\end{eqnarray}\)
左辺は \( Z \) となり、右辺は \( \sigma(p^{\prime})=0.05 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\left|Z\right|&{\small ~≧~}&\displaystyle \frac{\,0.08\,}{\,0.05\,}
\\[5pt]~~~\left|Z\right|&{\small ~≧~}&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~\left|Z\right|&{\small ~≧~}&1.6
\end{eqnarray}\)
よって、確率変数 \(Z\) の絶対値が \(1.6\) 以上となる確率は、
正規分布表より、\(p(1.6)=0.4452\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~P\left(\left|Z\right|{\small ~≧~}1.6\right)&=&2\cdot P(Z{\small ~≧~}1.6)
\\[3pt]~~&=&2\cdot \left\{0.5-p(1.6)\right\}
\\[3pt]~~&=&2\cdot \left(0.5-0.4452\right)
\\[3pt]~~&=&2{\, \small \times \,}0.0548
\\[3pt]~~&=&0.1096
\end{eqnarray}\)
したがって、\(10.96\) %となり、有意水準 \(5\) %よりも大きくなり、帰無仮説 \(p=0.5\) を棄却できない
この硬貨の表と裏に偏りがあると判断できない
\({\small (2)}~\)\(X=60\) のとき、標本比率 \( p^{\prime} \) は、
\(\begin{eqnarray}~~~p^{\prime}&=&\displaystyle \frac{\,X\,}{\,n\,}=\displaystyle \frac{\,60\,}{\,100\,}=0.60
\end{eqnarray}\)
ここで、標本比率と母比率の差の絶対値が \( 0.10 \) 以上となる確率を考えると、
\(~~~\left|\,p^{\prime}-p\,\right|{\small ~≧~}0.10\)
両辺を \( \sigma(p^{\prime}) \) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\left|\displaystyle \frac{\,p^{\prime}-p\,}{\,\sigma(p^{\prime})\,}\right|
&{\small ~≧~}&
\displaystyle \frac{\,0.10\,}{\,\sigma(p^{\prime})\,}
\end{eqnarray}\)
左辺は \( Z \) となり、右辺は \( \sigma(p^{\prime})=0.05 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\left|Z\right|&{\small ~≧~}&\displaystyle \frac{\,0.10\,}{\,0.05\,}
\\[5pt]~~~\left|Z\right|&{\small ~≧~}&\displaystyle \frac{\,10\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~\left|Z\right|&{\small ~≧~}&2.0
\end{eqnarray}\)
よって、確率変数 \(Z\) の絶対値が \(2.0\) 以上となる確率は、
正規分布表より、\(p(2)=0.4772\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}P\left(\left|Z\right|{\small ~≧~}2.0\right)&=&2\cdot P(Z{\small ~≧~}2.0)
\\[3pt]~~&=&2\cdot \left(0.5-p(2)\right)
\\[3pt]~~&=&2\cdot \left(0.5-0.4772\right)
\\[3pt]~~&=&2{\, \small \times \,}0.0228
\\[3pt]~~&=&0.0456
\end{eqnarray}\)
したがって、\(4.56\) %となり、有意水準 \(5\) %よりも小さくなり、帰無仮説 \(p=0.5\) を棄却できる
この硬貨の表と裏に偏りがあると判断できる
