このページは、「母比率の仮説検定(両側検定5%)」の練習問題アーカイブページとなります。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01ある \(1\) 個のさいころを \(180\) 回投げたところ、\(1\) の目が \(24\) 回出た。このさいころは、\(1\) の目の出る確率が \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\) ではないと判断してよいか。有意水準 \(5\) %で検定せよ。
数研出版｜数学Ｂ[710] p.106 練習34
数研出版｜高等学校数学Ｂ[711] p.103 練習34
数研出版｜新編数学Ｂ[712] p.97 練習32
解法のPoint → 棄却域タイプ
このさいころの1の目の出る確率が \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\) ではないと判断したいので、1の目の出る確率は \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\) であると仮説を立てる
その確率は \( p=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \) となる
仮説が正しいとすると、\(180\) 回中 1の目が出る回数 \( X \) は二項分布 \( B\left(180~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\right) \) に従う
よって、確率変数 \( X \) の期待値(平均)と標準偏差は、
\(~~~m=180{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}=30\)
\(\begin{eqnarray}~~~\sigma&=&\sqrt{\,180{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}{\, \small \times \,}\left(1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\right)\,}\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,180{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\sqrt{25}=5\end{eqnarray}\)
これより、確率変数 \( X \) は近似的に正規分布 \( N\left(30~,~5^2\right) \) に従う
また、\(Z=\displaystyle \frac{\,X-30\,}{\,5\,}~~~\cdots \small [\,1\,]\) とおくと、
確率変数 \(Z\) は標準正規分布 \( N(0~,~1) \) に従う
ここで、\( P(\,-1.96{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}1.96\,){\small ~≒~}0.95 \) より、有意水準 5% の棄却域は、
\(Z{\small ~≦~}-1.96~,~1.96{\small ~≦~}Z~~~\cdots \small [\,2\,]\)
\( X=24 \) のとき、\(\small [\,1\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~Z&=&\displaystyle \frac{\,24-30\,}{\,5\,}=\displaystyle \frac{\,-6\,}{\,5\,}=-1.2\end{eqnarray}\)
これは \(\small [\,2\,]\) の棄却域に入らないので、仮説を棄却できない
このさいころの1の目の出る確率が \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\) ではないと判断できない
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02プロ野球の \({\rm A}\),\({\rm B}\) 両チームの年間の対戦成績は、\({\rm A}\) の \(16\) 勝 \(9\) 敗であった。両チームの力に差があると判断してよいか。有意水準 \(5\) % で検定せよ。
数研出版｜数学Ｂ[710] p.109 問題 10
解法のPoint → 棄却域タイプ
両チームの力に差があると判断したいので、両チームの力に差がないと仮説を立てる
その確率は \( p=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}=0.5 \) となる
仮説が正しいとすると、\(25\) 試合中 \({\rm A}\) が勝つ回数 \( X \) は二項分布 \( B\left(25~,~0.5\right) \) に従う
よって、確率変数 \( X \) の期待値(平均)と標準偏差は、
\(~~~m=25{\, \small \times \,}0.5=12.5\)
\(\begin{eqnarray}~~~\sigma&=&\sqrt{\,25{\, \small \times \,}0.5{\, \small \times \,}(1-0.5)\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{6.25}=2.5\end{eqnarray}\)
これより、確率変数 \( X \) は近似的に正規分布 \( N\left(12.5~,~2.5^2\right) \) に従う
また、\(Z=\displaystyle \frac{\,X-12.5\,}{\,2.5\,}~~~\cdots \small [\,1\,]\) とおくと、
確率変数 \(Z\) は標準正規分布 \( N(0~,~1) \) に従う
\( X=16 \) のとき、\(\small [\,1\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~Z&=&\displaystyle \frac{\,16-12.5\,}{\,2.5\,}=\displaystyle \frac{\,3.5\,}{\,2.5\,}=1.4\end{eqnarray}\)
有意水準 \(5\) % のとき
\( P(\,-1.96{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}1.96\,){\small ~≒~}0.95 \) より、有意水準 5% の棄却域は、
\(Z{\small ~≦~}-1.96~,~1.96{\small ~≦~}Z\)
\(Z=1.4\) は棄却域に入らないので、仮説を棄却できない
両チームの力に差があると判断できない
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03ある \(1\) 個のさいころを \(720\) 回投げたところ、\(1\) の目が \(98\) 回出た。このさいころは、\(1\) の目の出る確率が \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\) ではないと判断してよいか。有意水準 \(5\) %で検定せよ。
数研出版｜高等学校数学Ｂ[711] p.106 問題 10
解法のPoint → 棄却域タイプ
このさいころの1の目の出る確率が \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\) ではないと判断したいので、1の目の出る確率は \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\) であると仮説を立てる
その確率は \( p=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \) となる
仮説が正しいとすると、\(720\) 回中 1の目が出る回数 \( X \) は二項分布 \( B\left(720~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\right) \) に従う
よって、確率変数 \( X \) の期待値(平均)と標準偏差は、
\(~~~m=720{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}=120\)
\(\begin{eqnarray}~~~\sigma&=&\sqrt{\,720{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}{\, \small \times \,}\left(1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\right)\,}\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,720{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\sqrt{100}=10\end{eqnarray}\)
これより、確率変数 \( X \) は近似的に正規分布 \( N\left(120~,~10^2\right) \) に従う
また、\(Z=\displaystyle \frac{\,X-120\,}{\,10\,}~~~\cdots \small [\,1\,]\) とおくと、
確率変数 \(Z\) は標準正規分布 \( N(0~,~1) \) に従う
ここで、\( P(\,-1.96{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}1.96\,){\small ~≒~}0.95 \) より、有意水準 5% の棄却域は、
\(Z{\small ~≦~}-1.96~,~1.96{\small ~≦~}Z~~~\cdots \small [\,2\,]\)
\( X=98 \) のとき、\(\small [\,1\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~Z&=&\displaystyle \frac{\,98-120\,}{\,10\,}=\displaystyle \frac{\,-22\,}{\,10\,}=-2.2\end{eqnarray}\)
これは \(\small [\,2\,]\) の棄却域に入るので、仮説を棄却できる
このさいころの1の目の出る確率が \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\) ではないと判断できる
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04ある \(2\) つの野球チーム \({\rm A}\)、\({\rm B}\) の年間の対戦成績は、\({\rm A}\) の \(25\) 勝 \(11\) 敗であった。両チームの力に差があると判断してよいか。有意水準 \(5\) %で検定せよ。また、有意水準 \(1\) %で検定せよ。
数研出版｜高等学校数学Ｂ[711] p.107 章末問題A 7
数研出版｜新編数学Ｂ[712] p.100 章末問題A 6
解法のPoint → 棄却域タイプ
両チームの力に差があると判断したいので、両チームの力に差がないと仮説を立てる
その確率は \( p=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}=0.5 \) となる
仮説が正しいとすると、\(36\) 試合中 \({\rm A}\) が勝つ回数 \( X \) は二項分布 \( B\left(36~,~0.5\right) \) に従う
よって、確率変数 \( X \) の期待値(平均)と標準偏差は、
\(~~~m=36{\, \small \times \,}0.5=18\)
\(\begin{eqnarray}~~~\sigma&=&\sqrt{\,36{\, \small \times \,}0.5{\, \small \times \,}(1-0.5)\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{9}=3\end{eqnarray}\)
これより、確率変数 \( X \) は近似的に正規分布 \( N\left(18~,~3^2\right) \) に従う
また、\(Z=\displaystyle \frac{\,X-18\,}{\,3\,}~~~\cdots \small [\,1\,]\) とおくと、
確率変数 \(Z\) は標準正規分布 \( N(0~,~1) \) に従う
\( X=25 \) のとき、\(\small [\,1\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~Z&=&\displaystyle \frac{\,25-18\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,3\,}{\small ~≒~}2.33\end{eqnarray}\)
\({\small (1)}~\)有意水準 \(5\) % のとき
\( P(\,-1.96{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}1.96\,){\small ~≒~}0.95 \) より、有意水準 5% の棄却域は、
\(Z{\small ~≦~}-1.96~,~1.96{\small ~≦~}Z\)
\(Z{\small ~≒~}2.33\) は棄却域に入るので、仮説を棄却できる
両チームの力に差があると判断できる
\({\small (2)}~\)有意水準 \(1\) % のとき
\( P(\,-2.58{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}2.58\,){\small ~≒~}0.99 \) より、有意水準 1% の棄却域は、
\(Z{\small ~≦~}-2.58~,~2.58{\small ~≦~}Z\)
\(Z{\small ~≒~}2.33\) は棄却域に入らないので、仮説を棄却できない
両チームの力に差があると判断できない
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05さいころ \({\rm A}\) を \(500\) 回投げたところ、\(1\) の目が出た回数は \(101\) 回であった。この結果から、さいころ \({\rm A}\) の \(1\) の目が出る確率は \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\) ではないと判断できるか。有意水準 \(5\) %で両側検定せよ。
東京書籍｜Advanced数学Ｂ[701] p.103 問13
解法のPoint → 標本比率タイプ
さいころ \({\rm A}\) を投げて \(1\) の目が出る確率を \( p \) とすると、
帰無仮説は、\( p=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \)
対立仮説は、\( p\ne \displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \)
また、標本比率を \( p^{\prime} \) とすると、
期待値(平均)は、
\(~~~E(p^{\prime})=p=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\)
標準偏差は、
\(\begin{eqnarray}~~~\sigma(p^{\prime})&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,p(1-p)\,}{\,n\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\cdot \left(1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\right)\,}{\,500\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\cdot \displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\,}{\,500\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3600\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,60\,}\end{eqnarray}\)
\( Z=\displaystyle \frac{\,p^{\prime}-p\,}{\,\sigma(p^{\prime})\,} \) とおくと、
確率変数 \( Z \) は標準正規分布 \(N(0~,~1)\) に従う
\(X=101\) のとき、標本比率 \( p^{\prime} \) は、
\(\begin{eqnarray}~~~p^{\prime}&=&\displaystyle \frac{\,X\,}{\,n\,}=\displaystyle \frac{\,101\,}{\,500\,}=0.202\end{eqnarray}\)
ここで、標本比率と母比率の差の絶対値が \( \displaystyle \frac{\,53\,}{\,1500\,} \) 以上となる確率を考えると、
\(~~~\left|\,p^{\prime}-p\,\right|{\small ~≧~}\displaystyle \frac{\,53\,}{\,1500\,}\)
両辺を \( \sigma(p^{\prime}) \) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\left|\displaystyle \frac{\,p^{\prime}-p\,}{\,\sigma(p^{\prime})\,}\right|&{\small ~≧~}&\displaystyle \frac{\,53\,}{\,1500\,}{\, \small \div \,}\sigma(p^{\prime})\end{eqnarray}\)
左辺は \( Z \) となり、右辺は \( \sigma(p^{\prime})=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,60\,} \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\left|Z\right|&{\small ~≧~}&\displaystyle \frac{\,53\,}{\,1500\,}{\, \small \times \,}60\\[5pt]~~~\left|Z\right|&{\small ~≧~}&\displaystyle \frac{\,53\,}{\,25\,}\\[5pt]~~~\left|Z\right|&{\small ~≧~}&2.12\end{eqnarray}\)
よって、確率変数 \(Z\) の絶対値が \(2.12\) 以上となる確率は、
正規分布表より、\(p(2.12)=0.4830\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~P\left(\left|Z\right|{\small ~≧~}2.12\right)&=&2\cdot P(Z{\small ~≧~}2.12)\\[3pt]~~~&=&2\cdot \left\{0.5-p(2.12)\right\}\\[3pt]~~~&=&2\cdot \left(0.5-0.4830\right)\\[3pt]~~~&=&2{\, \small \times \,}0.017\\[3pt]~~~&=&0.034\end{eqnarray}\)
したがって、\(3.4\) %となり、有意水準 \(5\) %よりも小さくなり、帰無仮説 \(p=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\) を棄却できる
さいころ \({\rm A}\) の \(1\) の目が出る確率は \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\) ではないと判断できる
問題アーカイブ06
問題アーカイブ06あるニュース番組の先週の視聴率は \(30\) %であった。無作為に抽出した \(100\) 世帯のうち、このニュース番組を今週視聴した世帯は \(24\) 世帯であった。今週の視聴率は \(30\) %と異なるか。有意水準 \(5\) %で仮説検定せよ。
東京書籍｜Standard数学Ｂ[702] p.106 問10
解法のPoint → 標本比率タイプ
今週の視聴率を \( p \) とすると、
帰無仮説は、\( p=0.3 \)
対立仮説は、\( p\ne 0.3 \)
また、標本比率を \( p^{\prime} \) とすると、
期待値(平均)は、
\(~~~E(p^{\prime})=p=0.3\)
標準偏差は、
\(\begin{eqnarray}~~~\sigma(p^{\prime})&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,p(1-p)\,}{\,n\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,0.3\cdot (1-0.3)\,}{\,100\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,0.3{\, \small \times \,}0.7\,}{\,100\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,0.21\,}{\,100\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{0.21}\,}{\,10\,}\end{eqnarray}\)
\( Z=\displaystyle \frac{\,p^{\prime}-p\,}{\,\sigma(p^{\prime})\,} \) とおくと、
確率変数 \( Z \) は標準正規分布 \(N(0~,~1)\) に従う
\(X=24\) のとき、標本比率 \( p^{\prime} \) は、
\(\begin{eqnarray}~~~p^{\prime}&=&\displaystyle \frac{\,X\,}{\,n\,}=\displaystyle \frac{\,24\,}{\,100\,}=0.24\end{eqnarray}\)
ここで、標本比率と母比率の差の絶対値が \( 0.06 \) 以上となる確率を考えると、
\(~~~\left|\,p^{\prime}-p\,\right|{\small ~≧~}0.06\)
両辺を \( \sigma(p^{\prime}) \) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\left|\displaystyle \frac{\,p^{\prime}-p\,}{\,\sigma(p^{\prime})\,}\right|&{\small ~≧~}&\displaystyle \frac{\,0.06\,}{\,\sigma(p^{\prime})\,}\end{eqnarray}\)
左辺は \( Z \) となり、右辺は \( \sigma(p^{\prime})=\displaystyle \frac{\,\sqrt{0.21}\,}{\,10\,} \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\left|Z\right|&{\small ~≧~}&0.06{\, \small \div \,}\displaystyle \frac{\,\sqrt{0.21}\,}{\,10\,}\\[5pt]~~~\left|Z\right|&{\small ~≧~}&\displaystyle \frac{\,0.6\,}{\,\sqrt{0.21}\,}\\[5pt]~~~\left|Z\right|&{\small ~≧~}&\displaystyle \frac{\,6\,}{\,\sqrt{21}\,}{\small ~≒~}1.31\end{eqnarray}\)
よって、確率変数 \(Z\) の絶対値が \(1.31\) 以上となる確率は、
正規分布表より、\(p(1.31)=0.4049\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~P\left(\left|Z\right|{\small ~≧~}1.31\right)&=&2\cdot P(Z{\small ~≧~}1.31)\\[3pt]~~~&=&2\cdot \left\{0.5-p(1.31)\right\}\\[3pt]~~~&=&2\cdot \left(0.5-0.4049\right)\\[3pt]~~~&=&2{\, \small \times \,}0.0951\\[3pt]~~~&=&0.1902\end{eqnarray}\)
したがって、\(19.02\) %となり、有意水準 \(5\) %よりも大きくなり、帰無仮説 \(p=0.3\) を棄却できない
今週の視聴率は \(30\) %と異なると判断できない
問題アーカイブ07
問題アーカイブ07あるさいころを \(400\) 回投げて出た目を記録したところ、\(1\) の目が出た回数は \(70\) 回であった。この結果から、「さいころで \(1\) の目が出る確率は \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\) でない」と判断できるか。有意水準 \(5\) %で仮説検定せよ。
東京書籍｜Standard数学Ｂ[702] p.107 Training 16
解法のPoint → 標本比率タイプ
さいころを投げて \(1\) の目が出る確率を \( p \) とすると、
帰無仮説は、\( p=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \)
対立仮説は、\( p\ne \displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \)
また、標本比率を \( p^{\prime} \) とすると、
期待値(平均)は、
\(~~~E(p^{\prime})=p=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\)
標準偏差は、
\(\begin{eqnarray}~~~\sigma(p^{\prime})&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,p(1-p)\,}{\,n\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\cdot \left(1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\right)\,}{\,400\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\cdot \displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\,}{\,400\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,5\,}{\,14400\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}\,}{\,120\,}\end{eqnarray}\)
\( Z=\displaystyle \frac{\,p^{\prime}-p\,}{\,\sigma(p^{\prime})\,} \) とおくと、
確率変数 \( Z \) は標準正規分布 \(N(0~,~1)\) に従う
\(X=70\) のとき、標本比率 \( p^{\prime} \) は、
\(\begin{eqnarray}~~~p^{\prime}&=&\displaystyle \frac{\,X\,}{\,n\,}=\displaystyle \frac{\,70\,}{\,400\,}=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,40\,}\end{eqnarray}\)
ここで、標本比率と母比率の差の絶対値が \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,120\,}\) 以上となる確率を考えると、
\(\begin{eqnarray}~~~\left|\,p^{\prime}-p\,\right|&=&\left|\,\displaystyle \frac{\,7\,}{\,40\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\,\right|
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,42-40\,}{\,240\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,120\,}\end{eqnarray}\)
\(~~~\left|\,p^{\prime}-p\,\right|{\small ~≧~}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,120\,}\)
両辺を \( \sigma(p^{\prime}) \) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\left|\displaystyle \frac{\,p^{\prime}-p\,}{\,\sigma(p^{\prime})\,}\right|&{\small ~≧~}&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,120\,}{\, \small \div \,}\sigma(p^{\prime})\end{eqnarray}\)
左辺は \( Z \) となり、右辺は \( \sigma(p^{\prime})=\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}\,}{\,120\,} \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\left|Z\right|&{\small ~≧~}&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,120\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,120\,}{\,\sqrt{5}\,}\\[5pt]~~~\left|Z\right|&{\small ~≧~}&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{5}\,}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}\,}{\,5\,}{\small ~≒~}0.45\end{eqnarray}\)
よって、確率変数 \(Z\) の絶対値が \(0.45\) 以上となる確率は、
正規分布表より、\(p(0.45)=0.1736\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~P\left(\left|Z\right|{\small ~≧~}0.45\right)&=&2\cdot P(Z{\small ~≧~}0.45)\\[3pt]~~~&=&2\cdot \left\{0.5-p(0.45)\right\}\\[3pt]~~~&=&2\cdot \left(0.5-0.1736\right)\\[3pt]~~~&=&2{\, \small \times \,}0.3264\\[3pt]~~~&=&0.6528\end{eqnarray}\)
したがって、\(65.28\) %となり、有意水準 \(5\) %よりも大きくなり、帰無仮説 \(p=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\) を棄却できない
さいころで \(1\) の目が出る確率は \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\) でないと判断できない
