母比率の仮説検定(片側検定5%)

数研出版｜数学Ｂ[710] p.107 練習35
解法のPoint → 棄却域タイプ

発芽率が上がったと判断したいので、
発芽率が上がっていない \(p=0.6\) と仮説を立てる

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仮説が正しいとすると、\(600\) 回中 発芽する個数 \(X\) は、二項分布 \(B(600~,~0.6)\) に従う

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よって、確率変数 \(X\) の期待値(平均)と標準偏差は、

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\(~~~m=600{\, \small \times \,}0.6=360\)

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\(\begin{eqnarray}~~~\sigma&=&\sqrt{\,600{\, \small \times \,}0.6\cdot(1-0.6)\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{144}=12
\end{eqnarray}\)

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これより、確率変数 \(X\) は近似的に正規分布 \(N(360~,~12^2)\) に従う

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また、\(Z=\displaystyle \frac{\,X-360\,}{\,12\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\) とおくと、

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確率変数 \(Z\) は標準正規分布 \(N(0~,~1)\) に従う

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ここで、\( P(\,0{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}1.64\,){\small ~≒~}0.45 \) より、

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発芽率が上がった判定の有意水準 \(5\) %の棄却域は、

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\(~~~Z{\small ~≧~}1.64 ~ ~ ~\cdots {\small [\,2\,]}\)

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\(X=378\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~Z&=&\displaystyle \frac{\,378-360\,}{\,12\,}
=\displaystyle \frac{\,18\,}{\,12\,}=1.5
\end{eqnarray}\)

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これは \({\small [\,2\,]}\) の棄却域に入らないので、仮説を棄却できない

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したがって、発芽率が上がったと判断できない

数研出版｜数学Ｂ[710] p.111 演習問題B 11
解法のPoint → 棄却域タイプ

\({\small (1)}~\)母比率 \( p \) の母集団から大きさ \( n=100 \) の標本を無作為に抽出し、\({\rm A}\) の支持者が \( 59 \) 人であることより、標本比率 \( R \) は、

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\(\begin{eqnarray}~R&=&\displaystyle \frac{\,59\,}{\,100\,}=0.59
\end{eqnarray}\)

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信頼度 \(95\) %より、\(E_p=1.96\cdot\sqrt{\displaystyle \frac{\,R(1-R)\,}{\,n\,}}\) の値は、

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\(\begin{eqnarray}~~~E_p&=&1.96\cdot \sqrt{\displaystyle \frac{\,R(1-R)\,}{\,n\,}}
\\[5pt]~&=&1.96\cdot \sqrt{\displaystyle \frac{\,0.59(1-0.59)\,}{\,100\,}}
\\[5pt]~&=&1.96\cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{0.59\cdot 0.41}\,}{\,\sqrt{100}\,}
\\[5pt]~&=&1.96\cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{0.2419}\,}{\,10\,}
\\[5pt]~&{\small \approx}&1.96\cdot \displaystyle \frac{\,0.492\,}{\,10\,}
\\[5pt]~&=&1.96\cdot 0.0492
\\[5pt]~&{\small \approx}&0.0964
\end{eqnarray}\)

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これより、

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\(\begin{eqnarray}~~~R-E_p&=&0.59-0.0964
\\[5pt]~&=&0.4936
\end{eqnarray}\)

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\(\begin{eqnarray}~~~R+E_p&=&0.59+0.0964
\\[5pt]~&=&0.6864
\end{eqnarray}\)

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したがって、信頼度 \( 95 \) %の母比率の信頼区間は、

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\(\begin{eqnarray}~[\,0.4936~,~0.6864\,]\end{eqnarray}\)

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全生徒 \(1200\) 人が投票するので、\({\rm A}\) の得票数の推定は、

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\(\begin{eqnarray}~~~1200{\, \small \times \,}0.4936&=&592.32{\small ~\approx~}592
\end{eqnarray}\)

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\(\begin{eqnarray}~~~1200{\, \small \times \,}0.6864&=&823.68{\small ~\approx~}824
\end{eqnarray}\)

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したがって、\({\rm A}\) の得票数は、

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\(\begin{eqnarray}~592\end{eqnarray}\) 票以上 \(\begin{eqnarray}~824\end{eqnarray}\) 票以下と推定できる

 

\({\small (2)}~\)\({\rm A}\) の支持率の方が高いと判断したいので、
\({\rm A}\) の支持率の方が高くない \(p=0.5\) と仮説を立てる

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仮説が正しいとすると、\(100\) 人中 \({\rm A}\) を支持する人数 \(X\) は、二項分布 \(B(100~,~0.5)\) に従う

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よって、確率変数 \(X\) の期待値(平均)と標準偏差は、

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\(~~~m=100{\, \small \times \,}0.5=50\)

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\(\begin{eqnarray}~~~\sigma&=&\sqrt{\,100{\, \small \times \,}0.5\cdot(1-0.5)\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{25}=5
\end{eqnarray}\)

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これより、確率変数 \(X\) は近似的に正規分布 \(N(50~,~5^2)\) に従う

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また、\(Z=\displaystyle \frac{\,X-50\,}{\,5\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\) とおくと、

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確率変数 \(Z\) は標準正規分布 \(N(0~,~1)\) に従う

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ここで、\( P(\,0{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}1.64\,){\small ~≒~}0.45 \) より、

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\({\rm A}\) の支持率が高い判定の有意水準 \(5\) %の棄却域は、

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\(~~~Z{\small ~≧~}1.64 ~ ~ ~\cdots {\small [\,2\,]}\)

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\(X=59\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~Z&=&\displaystyle \frac{\,59-50\,}{\,5\,}
=\displaystyle \frac{\,9\,}{\,5\,}=1.8
\end{eqnarray}\)

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これは \({\small [\,2\,]}\) の棄却域に入るので、仮説を棄却できる

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したがって、\({\rm A}\) の支持率の方が高いと判断できる

数研出版｜高等学校数学Ｂ[711] p.104 練習35
数研出版｜新編数学Ｂ[712] p.98 練33
解法のPoint → 棄却域タイプ

発芽率が上がったと判断したいので、
発芽率が上がっていない \(p=0.75\) と仮説を立てる

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仮説が正しいとすると、\(300\) 回中 発芽する個数 \(X\) は、二項分布 \(B(300~,~0.75)\) に従う

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よって、確率変数 \(X\) の期待値(平均)と標準偏差は、

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\(~~~m=300{\, \small \times \,}0.75=225\)

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\(\begin{eqnarray}~~~\sigma&=&\sqrt{\,300{\, \small \times \,}0.75\cdot(1-0.75)\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{56.25}=7.5
\end{eqnarray}\)

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これより、確率変数 \(X\) は近似的に正規分布 \(N(225~,~7.5^2)\) に従う

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また、\(Z=\displaystyle \frac{\,X-225\,}{\,7.5\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\) とおくと、

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確率変数 \(Z\) は標準正規分布 \(N(0~,~1)\) に従う

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ここで、\( P(\,0{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}1.64\,){\small ~≒~}0.45 \) より、

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発芽率が上がった判定の有意水準 \(5\) %の棄却域は、

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\(~~~Z{\small ~≧~}1.64 ~ ~ ~\cdots {\small [\,2\,]}\)

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\(X=237\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~Z&=&\displaystyle \frac{\,237-225\,}{\,7.5\,}
=\displaystyle \frac{\,12\,}{\,7.5\,}=1.6
\end{eqnarray}\)

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これは \({\small [\,2\,]}\) の棄却域に入らないので、仮説を棄却できない

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したがって、発芽率が上がったと判断できない

東京書籍｜Advanced数学Ｂ[701] p.103 問題 18
解法のPoint → 標本比率タイプ

成功率を \( p \) とすると、

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　帰無仮説は、\( p=0.5 \)

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　対立仮説は、\( p\gt 0.5 \)

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また、標本比率を \( p^{\prime} \) とすると、

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期待値(平均)は、

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\(~~~E(p^{\prime})=p=0.5\)

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標準偏差は、

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\(\begin{eqnarray}~~~\sigma(p^{\prime})&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,p(1-p)\,}{\,n\,}}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,0.5\cdot (1-0.5)\,}{\,125\,}}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,0.25\,}{\,125\,}}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,0.002\,}
\\[5pt]~~~&{\small \approx}&0.0447
\end{eqnarray}\)

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\( Z=\displaystyle \frac{\,p^{\prime}-p\,}{\,\sigma(p^{\prime})\,} \) とおくと、

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確率変数 \( Z \) は標準正規分布 \(N(0~,~1)\) に従う

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\(X=75\) のとき、標本比率 \( p^{\prime} \) は、

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\(\begin{eqnarray}~~~p^{\prime}&=&\displaystyle \frac{\,X\,}{\,n\,}=\displaystyle \frac{\,75\,}{\,125\,}=0.6
\end{eqnarray}\)

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ここで、標本比率と母比率の差が \( 0.1 \) 以上となる確率を考えると、

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\(~~~p^{\prime}-p{\small ~≧~}0.1\)

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両辺を \( \sigma(p^{\prime}) \) で割ると、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,p^{\prime}-p\,}{\,\sigma(p^{\prime})\,}
&{\small ~≧~}&
\displaystyle \frac{\,0.1\,}{\,\sigma(p^{\prime})\,}
\end{eqnarray}\)

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左辺は \( Z \) となり、右辺は \( \sigma(p^{\prime}){\small ~\approx~}0.0447 \) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~Z&{\small ~≧~}&\displaystyle \frac{\,0.1\,}{\,0.0447\,}
\\[5pt]~~~Z&{\small ~≧~}&2.24
\end{eqnarray}\)

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よって、確率変数 \(Z\) が \(2.24\) 以上となる確率は、
正規分布表より、\(p(2.24)=0.4875\) を用いて、

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\(\begin{eqnarray}P\left(Z{\small ~≧~}2.24\right)&=&0.5-p(2.24)
\\[3pt]&=&0.5-0.4875
\\[3pt]~~&=&0.0125
\end{eqnarray}\)

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よって、\(1.25\) %となり、有意水準 \(5\) %よりも小さくなり、帰無仮説 \(p=0.5\) を棄却できる

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したがって、成功率は \(0.5\) より大きいと判断できる