母比率の仮説検定(片側検定1%)

この問題の解法は複数種類あるので、使っている教科書や問題集などに対応した解法を選びましょう。

・数研出版の教科書→棄却域タイプ
・問題集など→正規分布表タイプ
・東京書籍の教科書→標本比率タイプ

不良品率が下がったと判断したいので、
不良品率が下がっていない \(p=0.1\) と仮説を立てる

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仮説が正しいとすると、\(900\) 個中不良品である個数 \(X\) は、二項分布 \(B(900~,~0.1)\) に従う

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よって、確率変数 \(X\) の期待値(平均)と標準偏差は、

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\(~~~m=900{\, \small \times \,}0.1=90\)

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\(\begin{eqnarray}~~~\sigma&=&\sqrt{\,900{\, \small \times \,}0.1\cdot(1-0.1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{81}=9
\end{eqnarray}\)

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これより、確率変数 \(X\) は近似的に正規分布 \(N(90~,~9^2)\) に従う

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また、\(Z=\displaystyle \frac{\,X-90\,}{\,9\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\) とおくと、

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確率変数 \(Z\) は標準正規分布 \(N(0~,~1)\) に従う

 

ここで、\( P(\,0{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}2.33\,){\small ~≒~}0.49 \) より、

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不良品率が下がった判定の有意水準 \(1\) %の棄却域は、

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\(~~~Z{\small ~≦~}-2.33 ~ ~ ~\cdots {\small [\,2\,]}\)

 

\(X=72\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~Z&=&\displaystyle \frac{\,72-90\,}{\,9\,}
=\displaystyle \frac{\,-18\,}{\,9\,}=-2.0
\end{eqnarray}\)

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これは \({\small [\,2\,]}\) の棄却域に入らないので、仮説を棄却できない

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したがって、不良品率が下がったと判断できない

不良品率が下がったと判断したいので、
不良品率が下がっていない \(p=0.1\) と仮説を立てる

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仮説が正しいとすると、\(900\) 個中不良品である個数 \(X\) は、二項分布 \(B(900~,~0.1)\) に従う

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よって、確率変数 \(X\) の期待値(平均)と標準偏差は、

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\(~~~m=900{\, \small \times \,}0.1=90\)

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\(\begin{eqnarray}~~~\sigma&=&\sqrt{\,900{\, \small \times \,}0.1\cdot(1-0.1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{81}=9
\end{eqnarray}\)

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これより、確率変数 \(X\) は近似的に正規分布 \(N(90~,~9^2)\) に従う

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また、\(Z=\displaystyle \frac{\,X-90\,}{\,9\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\) とおくと、

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確率変数 \(Z\) は標準正規分布 \(N(0~,~1)\) に従う

 

\(X=72\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~Z&=&\displaystyle \frac{\,72-90\,}{\,9\,}
=\displaystyle \frac{\,-18\,}{\,9\,}=-2.0
\end{eqnarray}\)

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よって、確率変数 \(Z\) が \(-2.0\) 以下となる確率は、
正規分布表より、\(p(2.0)=0.4772\) を用いて、

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\(\begin{eqnarray}P\left(Z{\small ~≦~}-2.0\right)&=&0.5-p(2.0)
\\[3pt]~~&=&0.5-0.4772
\\[3pt]~~&=&0.0228
\end{eqnarray}\)

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よって、\(2.28\) %となり、有意水準 \(1\) %よりも大きくなり、仮説を棄却できない

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したがって、不良品率が下がったと判断できない

不良品率を \( p \) とすると、

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　帰無仮説は、\( p=0.1 \)

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　対立仮説は、\( p\lt 0.1 \)

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また、標本比率を \( p^{\prime} \) とすると、

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期待値(平均)は、

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\(~~~E(p^{\prime})=p=0.1\)

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標準偏差は、

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\(\begin{eqnarray}~~~\sigma(p^{\prime})&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,p(1-p)\,}{\,n\,}}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,0.1\cdot (1-0.1)\,}{\,900\,}}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,0.1\cdot 0.9\,}{\,900\,}}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,0.01\,}{\,100\,}}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0.1\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&0.01
\end{eqnarray}\)

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\( Z=\displaystyle \frac{\,p^{\prime}-p\,}{\,\sigma(p^{\prime})\,} \) とおくと、

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確率変数 \( Z \) は標準正規分布 \(N(0~,~1)\) に従う

 

\(X=72\) のとき、標本比率 \( p^{\prime} \) は、

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\(\begin{eqnarray}~~~p^{\prime}&=&\displaystyle \frac{\,X\,}{\,n\,}=\displaystyle \frac{\,72\,}{\,900\,}=0.08
\end{eqnarray}\)

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ここで、標本比率と母比率の差が \( -0.02 \) 以下となる確率を考えると、

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\(~~~p^{\prime}-p{\small ~≦~}-0.02\)

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両辺を \( \sigma(p^{\prime}) \) で割ると、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,p^{\prime}-p\,}{\,\sigma(p^{\prime})\,}
&{\small ~≦~}&
\displaystyle \frac{\,-0.02\,}{\,\sigma(p^{\prime})\,}
\end{eqnarray}\)

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左辺は \( Z \) となり、右辺は \( \sigma(p^{\prime})=0.01\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~Z&{\small ~≦~}&\displaystyle \frac{\,-0.02\,}{\,0.01\,}
\\[5pt]~~~Z&{\small ~≦~}&-2.0
\end{eqnarray}\)

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よって、確率変数 \(Z\) が \(-2.0\) 以下となる確率は、
正規分布表より、\(p(2.0)=0.4772\) を用いて、

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\(\begin{eqnarray}P\left(Z{\small ~≦~}-2.0\right)&=&0.5-p(2.0)
\\[3pt]~~&=&0.5-0.4772
\\[3pt]~~&=&0.0228
\end{eqnarray}\)

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よって、\(2.28\) %となり、有意水準 \(1\) %よりも大きくなり、帰無仮説 \(p=0.1\) を棄却できない

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したがって、不良品率が下がったと判断できない