- 数学B｜統計的な推測「母比率の仮説検定と標本の個数」の基本例題解説ページです。
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問題｜母比率の仮説検定と標本の個数
統計的な推測 51☆ある製品の不良品率が \( 10 \) %であったが、新たに開発した製品から \(900\) 個を無作為に抽出し調べるとき、不良品が何個までなら有意水準 \( 5 \) %で不良品率が下がったと判断できるか？ただし、\( P(\,0{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}1.64\,){\small ~≒~}0.45\) とする。
高校数学B｜統計的な推測
解法のPoint
母比率の仮説検定と標本の個数
Point：母比率の仮説検定と標本の個数
① 判断したい説に反する仮説を立てる。
不良品率が下がった(判断したい)
(仮説)不良品率が下がっていない \(p=0.1\)
② 仮説が正しいとして、確率変数 \( X \) の期待値(平均)と標準偏差を求めて、標準正規分布に従う \( Z \) に変換する。
\( n=900 \) が大きいとき、
二項分布 \( B(900~,~0.1) \) より、
\(m=n\,p=90\)
\(\sigma=\sqrt{\,n\,p\,(1-p)\,}=9\)
変換の式は、\(Z=\displaystyle \frac{\,X-m\,}{\,\sigma\,}=\displaystyle \frac{\,X-90\,}{\,9\,}\)
③ 有意水準より棄却域を求める。
\( P(\,0{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}1.64\,){\small ~≒~}0.45 \) より、
有意水準 \( 5 \) %の片側検定の棄却域は、
・上がったか判定 \(Z{\small ~≧~}1.64\)
・下がったか判定 \(Z{\small ~≦~}-1.64\)
④ 棄却域の不等式に、変換の式 \(Z\) を代入して、これを満たす最大の \(X\) を求める。
\(Z\) が棄却域に入る
→ 仮説を棄却できる
→ 不良品率は下がったと判断できる
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,X-90\,}{\,9\,}&{\small ~≦~}&-1.64
\\[5pt]~~~X&{\small ~≦~}&75.24
\end{eqnarray}\)
これより、\(X=75\)
有意水準 \( 5 \) %の母比率の仮説検定(片側検定)で、不良品率が下がったと判断できる個数の上限の求め方は、
① 判断したい説に反する仮説を立てる。
不良品率が下がった(判断したい)
(仮説)不良品率が下がっていない \(p=0.1\)
② 仮説が正しいとして、確率変数 \( X \) の期待値(平均)と標準偏差を求めて、標準正規分布に従う \( Z \) に変換する。
\( n=900 \) が大きいとき、
二項分布 \( B(900~,~0.1) \) より、
\(m=n\,p=90\)
\(\sigma=\sqrt{\,n\,p\,(1-p)\,}=9\)
変換の式は、\(Z=\displaystyle \frac{\,X-m\,}{\,\sigma\,}=\displaystyle \frac{\,X-90\,}{\,9\,}\)
③ 有意水準より棄却域を求める。
\( P(\,0{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}1.64\,){\small ~≒~}0.45 \) より、
有意水準 \( 5 \) %の片側検定の棄却域は、
・上がったか判定 \(Z{\small ~≧~}1.64\)
・下がったか判定 \(Z{\small ~≦~}-1.64\)
④ 棄却域の不等式に、変換の式 \(Z\) を代入して、これを満たす最大の \(X\) を求める。
\(Z\) が棄却域に入る
→ 仮説を棄却できる
→ 不良品率は下がったと判断できる
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,X-90\,}{\,9\,}&{\small ~≦~}&-1.64
\\[5pt]~~~X&{\small ~≦~}&75.24
\end{eqnarray}\)
これより、\(X=75\)
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詳しい解説｜母比率の仮説検定と標本の個数
統計的な推測 51☆
ある製品の不良品率が \( 10 \) %であったが、新たに開発した製品から \(900\) 個を無作為に抽出し調べるとき、不良品が何個までなら有意水準 \( 5 \) %で不良品率が下がったと判断できるか？ただし、\( P(\,0{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}1.64\,){\small ~≒~}0.45\) とする。
高校数学B｜統計的な推測
不良品率が下がったと判断したいので、
不良品率が下がっていない \(p=0.1\) と仮説を立てる
仮説が正しいとすると、\(900\) 個中不良品である個数 \(X\) は、二項分布 \(B(900~,~0.1)\) に従う
よって、確率変数 \(X\) の期待値(平均)と標準偏差は、
\(~~~m=900{\, \small \times \,}0.1=90\)
\(\begin{eqnarray}~~~\sigma&=&\sqrt{\,900{\, \small \times \,}0.1\cdot(1-0.1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{81}=9
\end{eqnarray}\)
これより、確率変数 \(X\) は近似的に正規分布 \(N(90~,~9^2)\) に従う
また、\(Z=\displaystyle \frac{\,X-90\,}{\,9\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\) とおくと、
確率変数 \(Z\) は標準正規分布 \(N(0~,~1)\) に従う
ここで、\( P(\,0{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}1.64\,){\small ~≒~}0.45\) より、
不良品率が下がった判定の有意水準 \(5\) %の棄却域は、
\(~~~Z{\small ~≦~}-1.64 ~ ~ ~\cdots {\small [\,2\,]}\)
よって、\(Z\) が棄却域に入れば、仮説を棄却でき、不良品率は下がったと判断できるので、
\(\small [\,1\,]\) と \(\small [\,2\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,X-90\,}{\,9\,}&{\small ~≦~}&-1.64
\\[5pt]~~~X-90&{\small ~≦~}&-1.64{\, \small \times \,}9
\\[5pt]~~~X&{\small ~≦~}&90-14.76
\\[5pt]~~~X&{\small ~≦~}&75.24
\end{eqnarray}\)
したがって、\(75\) 個までなら、不良品率が下がったと判断できる
