このページは、「母比率の仮説検定と標本の個数」の練習問題アーカイブページとなります。
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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01ある工場では、これまで \(10\) 個に \(1\) 個の割合で不良品が発生していた。これを改善するために新しい機械の導入が検討されている。新しい機械の試験導入で試作品を多数作り、その中から無作為に \(100\) 個を抽出して検査を実施した。このとき、不良品が何個までなら有意水準 \(5\) %で不良品の割合が減少したと判断できるか。
東京書籍｜Advanced数学Ｂ[701] p.105 練習問題B 12
不良品率を \( p \) とすると、
帰無仮説は、\( p=0.1 \)
対立仮説は、\( p\lt 0.1 \)
また、標本比率を \( p^{\prime} \) とすると、
期待値(平均)は、
\(~~~E(p^{\prime})=p=0.1\)
標準偏差は、
\(\begin{eqnarray}~~~\sigma(p^{\prime})&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,p(1-p)\,}{\,n\,}}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,0.1\cdot (1-0.1)\,}{\,100\,}}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,0.1\cdot 0.9\,}{\,100\,}}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,0.09\,}{\,100\,}}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{0.09}\,}{\,\sqrt{100}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0.3\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&0.03
\end{eqnarray}\)
\( Z=\displaystyle \frac{\,p^{\prime}-p\,}{\,\sigma(p^{\prime})\,} \) とおくと、
確率変数 \( Z \) は標準正規分布 \(N(0~,~1)\) に従う
ここで、\( P(\,0{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}1.64\,){\small ~≒~}0.45 \) より、
不良品率が減少した判定の有意水準 \(5\) %の棄却域は、
\(~~~Z{\small ~≦~}-1.64\)
棄却域に入る標本比率 \( p^{\prime} \) の範囲を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,p^{\prime}-p\,}{\,\sigma(p^{\prime})\,}&{\small ~≦~}&-1.64
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,p^{\prime}-0.1\,}{\,0.03\,}&{\small ~≦~}&-1.64
\\[5pt]~~~p^{\prime}-0.1&{\small ~≦~}&-1.64{\, \small \times \,}0.03
\\[5pt]~~~p^{\prime}-0.1&{\small ~≦~}&-0.0492
\\[5pt]~~~p^{\prime}&{\small ~≦~}&0.1-0.0492
\\[5pt]~~~p^{\prime}&{\small ~≦~}&0.0508
\end{eqnarray}\)
不良品の個数 \( X \) の範囲を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~p^{\prime}=\displaystyle \frac{\,X\,}{\,n\,}&{\small ~≦~}&0.0508
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,X\,}{\,100\,}&{\small ~≦~}&0.0508
\\[5pt]~~~X&{\small ~≦~}&5.08
\end{eqnarray}\)
したがって、不良品が \(5\) 個以下なら、
不良品の割合が減少したと判断できる
