母平均の仮説検定

数研出版｜数学Ｂ[710] p.108 練習36
数研出版｜高等学校数学Ｂ[711] p.108 章末問題B 12
数研出版｜新編数学Ｂ[712] p.101 章末問題B 11
解法のPoint → 棄却域タイプ

無作為に抽出した \(100\) 個の内容量の標本平均を \( \overline{X} \) として、母平均 \(m=300\) と表示通りであると仮説を立てる

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標本の大きさ \(n=100\) が十分大きいと考えて、仮説が正しいとすると、母平均 \(m=300\)、母標準偏差 \(\sigma=7.4\) より、

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標本平均 \( \overline{X} \) の期待値(平均)と標準偏差は、

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\(~~~E(\overline{X})=m=300\)

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\(\begin{eqnarray}~~~\sigma(\overline{X})&=&\displaystyle \frac{\,\sigma\,}{\,\sqrt{n}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7.4\,}{\,\sqrt{100}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7.4\,}{\,10\,}=0.74\end{eqnarray}\)

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これより、標本平均 \( \overline{X} \) は近似的に正規分布 \( N\left(300~,~0.74^2\right) \) に従う

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また、\(Z=\displaystyle \frac{\,\overline{X}-300\,}{\,0.74\,}~~~\cdots \small [\,1\,]\) とおくと、

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確率変数 \(Z\) は標準正規分布 \( N(0~,~1) \) に従う

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ここで、\( P(\,-1.96{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}1.96\,){\small ~≒~}0.95 \) より、有意水準 5% の棄却域は、

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　\(Z{\small ~≦~}-1.96~,~1.96{\small ~≦~}Z~~~\cdots \small [\,2\,]\)

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\( \overline{X}=298.6 \) のとき、\(\small [\,1\,]\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~Z&=&\displaystyle \frac{\,298.6-300\,}{\,0.74\,}=\displaystyle \frac{\,-1.4\,}{\,0.74\,}{\small ~≒~}-1.89\end{eqnarray}\)

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これは \(\small [\,2\,]\) の棄却域に入らないので、仮説を棄却できない

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1缶あたりの平均内容量は表示通りでないとは判断できない

数研出版｜数学Ｂ[710] p.110 演習問題A 6
解法のPoint → 棄却域タイプ

無作為に抽出した \(64\) 本の内容量の標本平均を \( \overline{X} \) として、母平均 \(m=200\) と表示通りであると仮説を立てる

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標本の大きさ \(n=64\) が十分大きいと考えて、仮説が正しいとすると、母平均 \(m=200\)、母標準偏差 \(\sigma=2.8\) より、

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標本平均 \( \overline{X} \) の期待値(平均)と標準偏差は、

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\(~~~E(\overline{X})=m=200\)

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\(\begin{eqnarray}~~~\sigma(\overline{X})&=&\displaystyle \frac{\,\sigma\,}{\,\sqrt{n}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2.8\,}{\,\sqrt{64}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2.8\,}{\,8\,}=0.35\end{eqnarray}\)

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これより、標本平均 \( \overline{X} \) は近似的に正規分布 \( N\left(200~,~0.35^2\right) \) に従う

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また、\(Z=\displaystyle \frac{\,\overline{X}-200\,}{\,0.35\,}~~~\cdots \small [\,1\,]\) とおくと、

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確率変数 \(Z\) は標準正規分布 \( N(0~,~1) \) に従う

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ここで、\( P(\,-1.96{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}1.96\,){\small ~≒~}0.95 \) より、有意水準 5% の棄却域は、

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　\(Z{\small ~≦~}-1.96~,~1.96{\small ~≦~}Z~~~\cdots \small [\,2\,]\)

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\( \overline{X}=199.5 \) のとき、\(\small [\,1\,]\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~Z&=&\displaystyle \frac{\,199.5-200\,}{\,0.35\,}=\displaystyle \frac{\,-0.5\,}{\,0.35\,}{\small ~≒~}-1.43\end{eqnarray}\)

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これは \(\small [\,2\,]\) の棄却域に入らないので、仮説を棄却できない

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この商品の平均内容量は表示通りでないとは判断できない

東京書籍｜Advanced数学Ｂ[701] p.99 問9
解法のPoint → 帰無仮説タイプ

\({\small (1)}~\)無作為に抽出した \(400\) 個の寿命の標本平均を \( \overline{X} \) とする

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また、改良型の製品全体の平均寿命を \(m\) とすると、

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　帰無仮説は \(m=1500\)
　対立仮説は \(m{\small ~>~}1500\)

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となる

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標本の大きさ \(n=400\)、母標準偏差 \(\sigma=100\) より、

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標本平均 \( \overline{X} \) の期待値(平均)と標準偏差は、

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\(~~~E(\overline{X})=m=1500\)

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\(\begin{eqnarray}~~~\sigma(\overline{X})&=&\displaystyle \frac{\,\sigma\,}{\,\sqrt{n}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,100\,}{\,\sqrt{400}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,100\,}{\,20\,}=5\end{eqnarray}\)

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これより、標本平均 \( \overline{X} \) は近似的に正規分布 \( N\left(1500~,~5^2\right) \) に従う

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また、\(Z=\displaystyle \frac{\,\overline{X}-1500\,}{\,5\,}~~~\cdots \small [\,1\,]\) とおくと、

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確率変数 \(Z\) は標準正規分布 \( N(0~,~1) \) に従う

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ここで、母平均 \(m=1500\) と標本平均 \(\overline{X}\) の差が \(15\) 以上となる確率を考えると、

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\(~~~\overline{X}-1500{\small ~≧~}15\)

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両辺を \( \sigma(\overline{X})=5 \) で割ると、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\overline{X}-1500\,}{\,5\,}&{\small ~≧~}&\displaystyle \frac{\,15\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)

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左辺は\(\small [\,1\,]\)より、\( Z \) となるので、

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\(~~~Z{\small ~≧~}3\)

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よって、確率変数 \(Z\) が \(3\) 以上となる確率は、
正規分布表より、\(u(3)=0.4987\) を用いて、

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\(\begin{eqnarray}P\left(Z{\small ~≧~}3\right)&=&0.5-u(3)\\[3pt]~~&=&0.5-0.4987\\[3pt]~~&=&0.0013\end{eqnarray}\)

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したがって、\(0.13\) %となり、有意水準 \(5\) %よりも小さくなり、帰無仮説 \(m=1500\) を棄却できる

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製品の寿命が伸びたと判断できる

 

\({\small (2)}~\)無作為に抽出した \(1225\) 個の寿命の標本平均を \( \overline{X} \) とする

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また、改良型の製品全体の平均寿命を \(m\) とすると、

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　帰無仮説は \(m=1500\)
　対立仮説は \(m{\small ~>~}1500\)

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となる

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標本の大きさ \(n=1225\)、母標準偏差 \(\sigma=100\) より、

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標本平均 \( \overline{X} \) の期待値(平均)と標準偏差は、

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\(~~~E(\overline{X})=m=1500\)

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\(\begin{eqnarray}~~~\sigma(\overline{X})&=&\displaystyle \frac{\,\sigma\,}{\,\sqrt{n}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,100\,}{\,\sqrt{1225}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,100\,}{\,35\,}=\displaystyle \frac{\,20\,}{\,7\,}\end{eqnarray}\)

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これより、標本平均 \( \overline{X} \) は近似的に正規分布 \( N\left(1500~,~\left(\displaystyle \frac{\,20\,}{\,7\,}\right)^2\right) \) に従う

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また、\(Z=\displaystyle \frac{\,\overline{X}-1500\,}{\,\displaystyle \frac{\,20\,}{\,7\,}\,}~~~\cdots \small [\,1\,]\) とおくと、

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確率変数 \(Z\) は標準正規分布 \( N(0~,~1) \) に従う

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ここで、母平均 \(m=1500\) と標本平均 \(\overline{X}\) の差が \(5\) 以上となる確率を考えると、

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\(~~~\overline{X}-1500{\small ~≧~}5\)

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両辺を \( \sigma(\overline{X})=\displaystyle \frac{\,20\,}{\,7\,} \) で割ると、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\overline{X}-1500\,}{\,\displaystyle \frac{\,20\,}{\,7\,}\,}&{\small ~≧~}&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,\displaystyle \frac{\,20\,}{\,7\,}\,}\\[5pt]~~~&{\small ~≧~}&5{\,\small \times \,}\displaystyle \frac{\,7\,}{\,20\,}\\[5pt]~~~&{\small ~≧~}&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,4\,}=1.75\end{eqnarray}\)

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左辺は\(\small [\,1\,]\)より、\( Z \) となるので、

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\(~~~Z{\small ~≧~}1.75\)

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よって、確率変数 \(Z\) が \(1.75\) 以上となる確率は、
正規分布表より、\(u(1.75)=0.4599\) を用いて、

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\(\begin{eqnarray}P\left(Z{\small ~≧~}1.75\right)&=&0.5-u(1.75)\\[3pt]~~&=&0.5-0.4599\\[3pt]~~&=&0.0401\end{eqnarray}\)

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したがって、\(4.01\) %となり、有意水準 \(5\) %よりも小さくなり、帰無仮説 \(m=1500\) を棄却できる

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製品の寿命が伸びたと判断できる

東京書籍｜Advanced数学Ｂ[701] p.101 問12
解法のPoint → 帰無仮説タイプ

無作為に抽出した \(100\) 個の石けんの重さの標本平均を \( \overline{X} \) とする

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また、製造された石けん全体の重さの平均値を \(m\) とすると、

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　帰無仮説は \(m=100\)
　対立仮説は \(m\ne 100\)

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となる

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標本の大きさ \(n=100\)、母標準偏差 \(\sigma=4\) より、

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標本平均 \( \overline{X} \) の期待値(平均)と標準偏差は、

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\(~~~E(\overline{X})=m=100\)

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\(\begin{eqnarray}~~~\sigma(\overline{X})&=&\displaystyle \frac{\,\sigma\,}{\,\sqrt{n}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,\sqrt{100}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,10\,}=0.4\end{eqnarray}\)

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これより、標本平均 \( \overline{X} \) は近似的に正規分布 \( N\left(100~,~0.4^2\right) \) に従う

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また、\(Z=\displaystyle \frac{\,\overline{X}-100\,}{\,0.4\,}~~~\cdots \small [\,1\,]\) とおくと、

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確率変数 \(Z\) は標準正規分布 \( N(0~,~1) \) に従う

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ここで、母平均 \(m=100\) と標本平均 \(\overline{X}\) の差の絶対値が \(1.5\) 以上となる確率を考えると、

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\(~~~\left|\,\overline{X}-100\,\right|{\small ~≧~}1.5\)

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両辺を \( \sigma(\overline{X})=0.4 \) で割ると、

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\(\begin{eqnarray}~~~\left|\displaystyle \frac{\,\overline{X}-100\,}{\,0.4\,}\right|&{\small ~≧~}&\displaystyle \frac{\,1.5\,}{\,0.4\,}\end{eqnarray}\)

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左辺は\(\small [\,1\,]\)より、\( Z \) となるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~\left|Z\right|&{\small ~≧~}&\displaystyle \frac{\,1.5\,}{\,0.4\,}\\[5pt]~~~\left|Z\right|&{\small ~≧~}&3.75\end{eqnarray}\)

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よって、確率変数 \(Z\) の絶対値が \(3.75\) 以上となる確率は、
正規分布表より、\(u(3.75){\small ~≒~}0.4999\) を用いて、

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\(\begin{eqnarray}P\left(\left|Z\right|{\small ~≧~}3.75\right)&=&2\cdot P(Z{\small ~≧~}3.75)\\[3pt]~~&=&2\cdot \left(0.5-u(3.75)\right)\\[3pt]~~&=&2\cdot \left(0.5-0.4999\right)\\[3pt]~~&=&2{\,\small \times \,}0.0001\\[3pt]~~&=&0.0002\end{eqnarray}\)

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したがって、\(0.02\) %となり、有意水準 \(5\) %よりも小さくなり、帰無仮説 \(m=100\) を棄却できる

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石けんの重さは平均100gではないと判断できる

東京書籍｜Advanced数学Ｂ[701] p.104 練習問題A 6
解法のPoint → 帰無仮説タイプ

製品全体における1個あたりの重さの平均値を \(m\)、表示されている値を \(m_0\) とすると、

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　帰無仮説は \(m=m_0\)
　対立仮説は \(m\ne m_0\)

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となる

 

無作為に抽出した \(100\) 個の重さの標本平均を \( \overline{X} \) とする

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標本の大きさ \(n=100\)、母標準偏差 \(\sigma=3.45\) より、

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標本平均 \( \overline{X} \) の期待値(平均)と標準偏差は、

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\(~~~E(\overline{X})=m=m_0\)

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\(\begin{eqnarray}~~~\sigma(\overline{X})&=&\displaystyle \frac{\,\sigma\,}{\,\sqrt{n}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3.45\,}{\,\sqrt{100}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3.45\,}{\,10\,}=0.345\end{eqnarray}\)

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これより、標本平均 \( \overline{X} \) は近似的に正規分布 \( N\left(m_0~,~0.345^2\right) \) に従う

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また、\(Z=\displaystyle \frac{\,\overline{X}-m_0\,}{\,0.345\,}~~~\cdots \small [\,1\,]\) とおくと、

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確率変数 \(Z\) は標準正規分布 \( N(0~,~1) \) に従う

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ここで、母平均 \(m_0\) と標本平均 \(\overline{X}\) の差の絶対値が \(0.9\) 以上となる確率を考えると、

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\(~~~\left|\,\overline{X}-m_0\,\right|{\small ~≧~}0.9\)

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両辺を \( \sigma(\overline{X})=0.345 \) で割ると、

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\(\begin{eqnarray}~~~\left|\displaystyle \frac{\,\overline{X}-m_0\,}{\,0.345\,}\right|&{\small ~≧~}&\displaystyle \frac{\,0.9\,}{\,0.345\,}\end{eqnarray}\)

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左辺は\(\small [\,1\,]\)より、\( Z \) となるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~\left|Z\right|&{\small ~≧~}&\displaystyle \frac{\,0.9\,}{\,0.345\,}\\[5pt]~~~\left|Z\right|&{\small ~≧~}&\displaystyle \frac{\,60\,}{\,23\,}{\small ~≒~}2.61\end{eqnarray}\)

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よって、確率変数 \(Z\) の絶対値が \(2.61\) 以上となる確率は、
正規分布表より、\(u(2.61)=0.4955\) を用いて、

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\(\begin{eqnarray}P\left(\left|Z\right|{\small ~≧~}2.61\right)&=&2\cdot P(Z{\small ~≧~}2.61)\\[3pt]~~&=&2\cdot \left(0.5-u(2.61)\right)\\[3pt]~~&=&2\cdot \left(0.5-0.4955\right)\\[3pt]~~&=&2{\,\small \times \,}0.0045\\[3pt]~~&=&0.009\end{eqnarray}\)

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したがって、\(0.9\) %となり、有意水準 \(5\) %よりも小さくなり、帰無仮説 \(m=m_0\) を棄却できる

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製品全体における1個あたりの重さは表示されている値と異なると判断できる

東京書籍｜Standard数学Ｂ[702] p.106 問9
解法のPoint → 帰無仮説タイプ

無作為に抽出した \(100\) 個の石けんの重さの標本平均を \( \overline{X} \) とする

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また、生産された石けん全体の重さの平均値を \(m\) とすると、

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　帰無仮説は \(m=100\)
　対立仮説は \(m\ne 100\)

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となる

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標本の大きさ \(n=100\)、母標準偏差 \(\sigma=4\) より、

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標本平均 \( \overline{X} \) の期待値(平均)と標準偏差は、

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\(~~~E(\overline{X})=m=100\)

---

\(\begin{eqnarray}~~~\sigma(\overline{X})&=&\displaystyle \frac{\,\sigma\,}{\,\sqrt{n}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,\sqrt{100}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,10\,}=0.4\end{eqnarray}\)

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これより、標本平均 \( \overline{X} \) は近似的に正規分布 \( N\left(100~,~0.4^2\right) \) に従う

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また、\(Z=\displaystyle \frac{\,\overline{X}-100\,}{\,0.4\,}~~~\cdots \small [\,1\,]\) とおくと、

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確率変数 \(Z\) は標準正規分布 \( N(0~,~1) \) に従う

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ここで、母平均 \(m=100\) と標本平均 \(\overline{X}\) の差の絶対値が \(1.5\) 以上となる確率を考えると、

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\(~~~\left|\,\overline{X}-100\,\right|{\small ~≧~}1.5\)

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両辺を \( \sigma(\overline{X})=0.4 \) で割ると、

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\(\begin{eqnarray}~~~\left|\displaystyle \frac{\,\overline{X}-100\,}{\,0.4\,}\right|&{\small ~≧~}&\displaystyle \frac{\,1.5\,}{\,0.4\,}\end{eqnarray}\)

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左辺は\(\small [\,1\,]\)より、\( Z \) となるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~\left|Z\right|&{\small ~≧~}&\displaystyle \frac{\,1.5\,}{\,0.4\,}\\[5pt]~~~\left|Z\right|&{\small ~≧~}&3.75\end{eqnarray}\)

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よって、確率変数 \(Z\) の絶対値が \(3.75\) 以上となる確率は、
正規分布表より、\(u(3.75){\small ~≒~}0.4999\) を用いて、

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\(\begin{eqnarray}P\left(\left|Z\right|{\small ~≧~}3.75\right)&=&2\cdot P(Z{\small ~≧~}3.75)\\[3pt]~~&=&2\cdot \left(0.5-u(3.75)\right)\\[3pt]~~&=&2\cdot \left(0.5-0.4999\right)\\[3pt]~~&=&2{\,\small \times \,}0.0001\\[3pt]~~&=&0.0002\end{eqnarray}\)

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したがって、\(0.02\) %となり、有意水準 \(5\) %よりも小さくなり、帰無仮説 \(m=100\) を棄却できる

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石けんの重さの平均は100gではないと判断できる