- 数学C｜平面上のベクトル「中点連結定理とベクトル」の基本例題解説ページです。
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問題｜中点連結定理とベクトル
高校数学C｜平面上のベクトル
解法のPoint
中点連結定理とベクトル
2つのベクトルが平行であることの証明は、\(\overrightarrow{\rm PQ}=k\,\overrightarrow{\rm BC}\) となる実数 \(k\) が存在すればよい。
証明の手順は、
① 基準となる2つのベクトルを設定する。
\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{c}\) とおく
② 平行を示す2つのベクトルをそれぞれ①で設定したベクトルで表す。
\(\overrightarrow{\rm PQ}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})~,~\overrightarrow{\rm BC}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}\)
③ 実数倍となる式をつくり、平行であることを示す。
\(\begin{eqnarray}\overrightarrow{\rm PQ}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm BC}~\Leftrightarrow ~ \overrightarrow{\rm PQ}\,//\,\overrightarrow{\rm BC}\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜中点連結定理とベクトル
\(\triangle {\rm ABC}\) の辺 \({\rm AB~,~AC}\) の中点をそれぞれ \({\rm P~,~Q}\) とするとき、\(\overrightarrow{\rm PQ}\,//\,\overrightarrow{\rm BC}\) であることの証明方法は？
高校数学C｜平面上のベクトル
[証明] \(\triangle {\rm ABC}\) の辺 \({\rm AB}~,~{\rm AC}\) の中点をそれぞれ \({\rm P}~,~{\rm Q}\) とし、線分 \(\rm PQ\) を結ぶと、
ここで、\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{c}\) とおくと、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm BC}&=&\overrightarrow{\rm AC}-\overrightarrow{\rm AB}
\\[3pt]~~~&=&\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}~~~~\cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
また、\(\overrightarrow{\rm AP}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm AB}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{b}\) 、
\(\overrightarrow{\rm AQ}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm AC}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{c}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm PQ}&=&\overrightarrow{\rm AQ}-\overrightarrow{\rm AP}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{c}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{b}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})~~~~\cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
よって、\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm PQ}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm BC}
\end{eqnarray}\)
したがって、\(\overrightarrow{\rm PQ}\,//\,\overrightarrow{\rm BC}\) である [終]
