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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(\triangle {\rm ABC}\) の辺 \({\rm AB~,~AC}\) を \(m:n\) に内分する点をそれぞれ \({\rm P~,~Q}\) とするとき、次の問に答えよ。
\({\small (1)}~\) \(\overrightarrow{\rm PQ}\) を \(\overrightarrow{\rm AB}~,~\overrightarrow{\rm AC}\) を用いて表せ。
\({\small (2)}~\) \(\overrightarrow{\rm PQ}\,//\,\overrightarrow{\rm BC}\) となることを示せ。
\({\small (1)}~\) \(\overrightarrow{\rm PQ}\) を \(\overrightarrow{\rm AB}~,~\overrightarrow{\rm AC}\) を用いて表せ。
\({\small (2)}~\) \(\overrightarrow{\rm PQ}\,//\,\overrightarrow{\rm BC}\) となることを示せ。
東京書籍｜Advanced数学Ｂ[701] p.25 問題 1
\({\small (1)}~\)\(\triangle {\rm ABC}\) の辺 \({\rm AB}~,~{\rm AC}\) を \(m:n\) に内分する点をそれぞれ \({\rm P}~,~{\rm Q}\) とし、線分 \(\rm PQ\) を結ぶ
ここで、\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{c}\) とおくと、
\(\overrightarrow{\rm AP}=\displaystyle \frac{\,m\,}{\,m+n\,}\overrightarrow{\rm AB}=\displaystyle \frac{\,m\,}{\,m+n\,}\overrightarrow{b}\)
\(\overrightarrow{\rm AQ}=\displaystyle \frac{\,m\,}{\,m+n\,}\overrightarrow{\rm AC}=\displaystyle \frac{\,m\,}{\,m+n\,}\overrightarrow{c}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm PQ}&=&\overrightarrow{\rm AQ}-\overrightarrow{\rm AP}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,m\,}{\,m+n\,}\overrightarrow{c}-\displaystyle \frac{\,m\,}{\,m+n\,}\overrightarrow{b}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,m\,}{\,m+n\,}(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,m\,}{\,m+n\,}(\overrightarrow{\rm AC}-\overrightarrow{\rm AB})\end{eqnarray}\)
したがって、\(\overrightarrow{\rm PQ}=\displaystyle \frac{\,m\,}{\,m+n\,}(\overrightarrow{\rm AC}-\overrightarrow{\rm AB})\) となる
\({\small (2)}~\)\({\small (1)}\) より、
\(~~~\overrightarrow{\rm PQ}=\displaystyle \frac{\,m\,}{\,m+n\,}(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm BC}&=&\overrightarrow{\rm AC}-\overrightarrow{\rm AB}
\\[3pt]~~~&=&\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
よって、\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm PQ}&=&\displaystyle \frac{\,m\,}{\,m+n\,}\overrightarrow{\rm BC}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\overrightarrow{\rm PQ}\,//\,\overrightarrow{\rm BC}\) である [終]
