ベクトルの等式と成分の計算

※ 教科書などの方法の横並びだと式が長くなり、対応する成分を見落として計算ミスが増えます。ここでは成分を縦に並べて、上から順に対応する成分同士を計算できるようにしています。ただし、答えを書くときは横並びに戻しておきましょう。

\(\overrightarrow{a}=\left(\,\begin{array}{c}x\\[2pt]2\end{array}\,\right)~,~
\overrightarrow{b}=\left(\,\begin{array}{c}-3\\[2pt]y\end{array}\,\right)~,~
\overrightarrow{c}=\left(\,\begin{array}{c}11\\[2pt]-8\end{array}\,\right)\) より、

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\(\overrightarrow{c}=2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}\) に代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~\left(\,\begin{array}{c}11\\[2pt]-8\end{array}\,\right)
&=&2\left(\,\begin{array}{c}x\\[2pt]2\end{array}\,\right)-3\left(\,\begin{array}{c}-3\\[2pt]y\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}2x\\[2pt]4\end{array}\,\right)+\left(\,\begin{array}{c}9\\[2pt]-3y\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}2x+9\\[2pt]4-3y\end{array}\,\right)
\end{eqnarray}\)

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\(x\) 成分と \(y\) 成分がそれぞれ等しいことより、

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\(\begin{eqnarray}~~~\left\{~\begin{array}{l}
11=2x+9~~~\cdots {\small [\,1\,]}\\[3pt]
-8=4-3y~~~~\cdots {\small [\,2\,]}
\end{array}\right.
\end{eqnarray}\)

 

\({\small [\,1\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~2x+9&=&11
\\[3pt]~~~2x&=&2
\\[3pt]~~~x&=&1
\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,2\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~-8&=&4-3y
\\[3pt]~~~3y&=&12
\\[3pt]~~~y&=&4
\end{eqnarray}\)

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したがって、\(x=1~,~y=4\) となる

 

※ 教科書などの方法の横並びだと式が長くなり、対応する成分を見落として計算ミスが増えます。ここでは成分を縦に並べて、上から順に対応する成分同士を計算できるようにしています。ただし、答えを書くときは横並びに戻しておきましょう。