- 数学C｜平面上のベクトル「2つのベクトルの和と差と成分」の基本例題解説ページです。
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問題｜2つのベクトルの和と差と成分
平面上のベクトル 18☆\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(-2~,~6)~,~ \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(4~,~-2)\) のとき、\(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) の成分の求め方は？
高校数学C｜平面上のベクトル
解法のPoint
2つのベクトルの和と差と成分
Point：2つのベクトルの和と差と成分
2つの式を足すと、\(\overrightarrow{a}\) を求めることができる。
\(\begin{eqnarray}~~~
\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}&=&(-2~,~6) \\
+\big{)}~~~~\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}&=&(4~,~-2)\\
\hline 2\overrightarrow{a}&=&\left(\,\begin{array}{c}-2\\[2pt]6\end{array}\,\right)+\left(\,\begin{array}{c}4\\[2pt]-2\end{array}\,\right)
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~
\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}&=&(-2~,~6) \\
-\big{)}~~~~\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}&=&(4~,~-2)\\
\hline 2\overrightarrow{b}&=&\left(\,\begin{array}{c}-2\\[2pt]6\end{array}\,\right)-\left(\,\begin{array}{c}4\\[2pt]-2\end{array}\,\right)
\end{eqnarray}\)
2つのベクトルの和 \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) の成分と差 \(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\) の成分が与えられたとき、
2つの式を足すと、\(\overrightarrow{a}\) を求めることができる。
\(\begin{eqnarray}~~~
\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}&=&(-2~,~6) \\
+\big{)}~~~~\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}&=&(4~,~-2)\\
\hline 2\overrightarrow{a}&=&\left(\,\begin{array}{c}-2\\[2pt]6\end{array}\,\right)+\left(\,\begin{array}{c}4\\[2pt]-2\end{array}\,\right)
\end{eqnarray}\)
2つの式を引くと、\(\overrightarrow{b}\) を求めることができる。
\(\begin{eqnarray}~~~
\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}&=&(-2~,~6) \\
-\big{)}~~~~\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}&=&(4~,~-2)\\
\hline 2\overrightarrow{b}&=&\left(\,\begin{array}{c}-2\\[2pt]6\end{array}\,\right)-\left(\,\begin{array}{c}4\\[2pt]-2\end{array}\,\right)
\end{eqnarray}\)
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※ 教科書などの方法の横並びだと式が長くなり、対応する成分を見落として計算ミスが増えます。ここでは成分を縦に並べて、上から順に対応する成分同士を計算できるようにしています。ただし、答えを書くときは横並びに戻しておきましょう。
詳しい解説｜2つのベクトルの和と差と成分
平面上のベクトル 18☆\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(-2~,~6)~,~ \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(4~,~-2)\) のとき、\(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) の成分の求め方は？
高校数学C｜平面上のベクトル
2つの式を足すと、
\(\begin{eqnarray}~~~
\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}&=&(-2~,~6) \\
+\big{)}~~~~\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}&=&(4~,~-2)\\
\hline 2\overrightarrow{a}&=&\left(\,\begin{array}{c}-2\\[2pt]6\end{array}\,\right)+\left(\,\begin{array}{c}4\\[2pt]-2\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~2\overrightarrow{a}&=&\left(\,\begin{array}{c}-2+4\\[2pt]6-2\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~2\overrightarrow{a}&=&\left(\,\begin{array}{c}2\\[2pt]4\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~\overrightarrow{a}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left(\,\begin{array}{c}2\\[2pt]4\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~\overrightarrow{a}&=&\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]2\end{array}\,\right)
\end{eqnarray}\)
2つの式を引くと、
\(\begin{eqnarray}~~~
\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}&=&(-2~,~6) \\
-\big{)}~~~~\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}&=&(4~,~-2)\\
\hline 2\overrightarrow{b}&=&\left(\,\begin{array}{c}-2\\[2pt]6\end{array}\,\right)-\left(\,\begin{array}{c}4\\[2pt]-2\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~2\overrightarrow{b}&=&\left(\,\begin{array}{c}-2-4\\[2pt]6+2\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~2\overrightarrow{b}&=&\left(\,\begin{array}{c}-6\\[2pt]8\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~\overrightarrow{b}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left(\,\begin{array}{c}-6\\[2pt]8\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~\overrightarrow{b}&=&\left(\,\begin{array}{c}-3\\[2pt]4\end{array}\,\right)
\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\overrightarrow{a}=(1~,~2)~,~\overrightarrow{b}=(-3~,~4)\) となる
※ 教科書などの方法の横並びだと式が長くなり、対応する成分を見落として計算ミスが増えます。ここでは成分を縦に並べて、上から順に対応する成分同士を計算できるようにしています。ただし、答えを書くときは横並びに戻しておきましょう。
