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問題アーカイブ01
問題アーカイブ012つのベクトル \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}\) において、\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(1~,~2)~,~\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(0~,~-1)\) のとき、\(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) を求めよ。また、ベクトル \(2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}\) の大きさを求めよ。
数研出版｜数学Ｂ[710] p.30 問題 1
2つの式を足すと、
\(\begin{eqnarray}~~~
\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}&=&(1~,~2) \\
+\big{)}~~\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}&=&(0~,~-1)\\
\hline 2\overrightarrow{a}&=&\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]2\end{array}\,\right)+\left(\,\begin{array}{c}0\\[2pt]-1\end{array}\,\right)
\\[5pt]~2\overrightarrow{a}&=&\left(\,\begin{array}{c}1+0\\[2pt]2-1\end{array}\,\right)
\\[5pt]~2\overrightarrow{a}&=&\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]1\end{array}\,\right)
\\[5pt]~\overrightarrow{a}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]1\end{array}\,\right)
\\[5pt]~\overrightarrow{a}&=&\left(\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,\right)
\end{eqnarray}\)
2つの式を引くと、
\(\begin{eqnarray}~
\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}&=&(1~,~2) \\
-\big{)}~~~~\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}&=&(0~,~-1)\\
\hline 2\overrightarrow{b}&=&\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]2\end{array}\,\right)-\left(\,\begin{array}{c}0\\[2pt]-1\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~2\overrightarrow{b}&=&\left(\,\begin{array}{c}1-0\\[2pt]2+1\end{array}\,\right)
\\[5pt]~2\overrightarrow{b}&=&\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]3\end{array}\,\right)
\\[5pt]~\overrightarrow{b}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]3\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~\overrightarrow{b}&=&\left(\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\,\right)
\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\overrightarrow{a}=\left(\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,\right)~,~\overrightarrow{b}=\left(\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\,\right)\) となる
※ 教科書などの方法の横並びだと式が長くなり、対応する成分を見落として計算ミスが増えます。ここでは成分を縦に並べて、上から順に対応する成分同士を計算できるようにしています。ただし、答えを書くときは横並びに戻しておきましょう。
次に、\(2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}&=&2\left(\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,\right)-3\left(\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\,\right)
\\[5pt]&=&\left(\,1~,~1\,\right)-\left(\,\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\,\right)
\\[5pt]&=&\left(\,1-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}~,~1-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\,\right)
\\[5pt]&=&\left(\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~-\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}\,\right)
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]&=&\left(\,1~,~1\,\right)-\left(\,\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\,\right)
\\[5pt]&=&\left(\,1-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}~,~1-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\,\right)
\\[5pt]&=&\left(\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~-\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}\,\right)
\end{eqnarray}\)
よって、\(2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}\) の大きさは、
\(\begin{eqnarray}~~~
\left|\,2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}\,\right|&=&\sqrt{\left(\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,\right)^2+\left(\,-\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}\,\right)^2}
\\[5pt]&=&\sqrt{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,49\,}{\,4\,}}
\\[5pt]&=&\sqrt{\displaystyle \frac{\,50\,}{\,4\,}}
\\[5pt]&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{50}\,}{\,2\,}
\\[5pt]&=&\displaystyle \frac{\,5\sqrt{2}\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\left|\,2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}\,\right|=\displaystyle \frac{\,5\sqrt{2}\,}{\,2\,}\) となる
