- 数学C｜平面上のベクトル「ベクトルと平行な単位ベクトルの成分」の基本例題解説ページです。
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問題｜ベクトルと平行な単位ベクトルの成分
平面上のベクトル 19\(\overrightarrow{b}=(-3~,~ 4)\) に平行な単位ベクトルの求め方は？また、\(\overrightarrow{b}\) に平行で大きさが \(3\) のベクトルの求め方は？
高校数学C｜平面上のベクトル
解法のPoint
ベクトルと平行な単位ベクトルの成分
Point：ベクトルと平行な単位ベクトルの成分
\(\overrightarrow{e}=\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}\,}{\,|\,\overrightarrow{a}\,|\,}\) と \(\overrightarrow{e}=-\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}\,}{\,|\,\overrightarrow{a}\,|\,}\)
ベクトル \(\overrightarrow{a}\) に平行な単位ベクトルは、大きさが \(1\) で、同じ方向と反対の方向の2つあるので、
\(\overrightarrow{e}=\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}\,}{\,|\,\overrightarrow{a}\,|\,}\) と \(\overrightarrow{e}=-\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}\,}{\,|\,\overrightarrow{a}\,|\,}\)
成分表示で求めたいときは、この式に成分を代入する。
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詳しい解説｜ベクトルと平行な単位ベクトルの成分
平面上のベクトル 19
\(\overrightarrow{b}=(-3~,~ 4)\) に平行な単位ベクトルの求め方は？また、\(\overrightarrow{b}\) に平行で大きさが \(3\) のベクトルの求め方は？
高校数学C｜平面上のベクトル
\(\overrightarrow{b}=(-3~,~ 4)\) より、\(\overrightarrow{b}\) の大きさは、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{b}\,|&=&\sqrt{\,(-3)^2+4^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,9+16\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{25}
\\[3pt]~~~&=&5
\end{eqnarray}\)
よって、\(\overrightarrow{b}\) に平行な単位ベクトル \(\overrightarrow{e}\) は同じ方向と反対の方向の2つあるので、
\(\overrightarrow{e}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\overrightarrow{b}\) と \(\overrightarrow{e}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\overrightarrow{b}\)
\(\overrightarrow{b}=(-3~,~ 4)\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{e}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}(-3~,~ 4)=\left(-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}~,~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\right)\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{e}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}(-3~,~ 4)=\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}~,~-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\right)\end{eqnarray}\)
また、大きさが \(3\) のベクトルは、この単位ベクトルの \(3\) 倍なので、
\(\begin{eqnarray}~~~3\overrightarrow{e}=3\left(-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}~,~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\right)=\left(-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,5\,}~,~\displaystyle \frac{\,12\,}{\,5\,}\right)\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~3\overrightarrow{e}=3\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}~,~-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\right)=\left(\displaystyle \frac{\,9\,}{\,5\,}~,~-\displaystyle \frac{\,12\,}{\,5\,}\right)\end{eqnarray}\)
