このページは、「三角形の射影とベクトルの内積」の練習問題アーカイブページとなります。
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三角形の射影とベクトルの内積 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01次の図において、\(\overrightarrow{\rm OA}=\vec{a}\)、\(\overrightarrow{\rm OB}=\vec{b}\) とするとき、\({\rm OA}\times{\rm OD}\) と \({\rm OB}\times{\rm OC}\) の値を \(\vec{a}\)、\(\vec{b}\) を用いて表し
\({\rm OA}\times{\rm OD}={\rm OB}\times{\rm OC}\)
が成り立つことを確認せよ。
\({\rm OA}\times{\rm OD}={\rm OB}\times{\rm OC}\)
が成り立つことを確認せよ。
東京書籍｜Advanced数学Ｂ[701] p.25 問題 3
[証明] \(\angle \rm AOB=\theta \) とおくと、\(\overrightarrow{\rm OA}\) と \(\overrightarrow{\rm OB}\) の内積は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OA}\cdot\overrightarrow{\rm OB}&=&|\,\overrightarrow{\rm OA}\,|\,|\,\overrightarrow{\rm OB}\,|\cos \theta~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
ここで、\(\triangle \rm OBD\) の余弦より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos \theta&=&\displaystyle \frac{\,|\,\overrightarrow{\rm OD}\,|\,}{\,|\,\overrightarrow{\rm OB}\,|\,}
\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{\rm OB}\,|\cos \theta&=&|\,\overrightarrow{\rm OD}\,|
\end{eqnarray}\)
\(\small [\,1\,]\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OA}\cdot\overrightarrow{\rm OB}&=&|\,\overrightarrow{\rm OA}\,|\cdot|\,\overrightarrow{\rm OD}\,|~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
また、\(\triangle \rm OAC\) の余弦より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos \theta&=&\displaystyle \frac{\,|\,\overrightarrow{\rm OC}\,|\,}{\,|\,\overrightarrow{\rm OA}\,|\,}
\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{\rm OA}\,|\cos \theta&=&|\,\overrightarrow{\rm OC}\,|
\end{eqnarray}\)
\(\small [\,1\,]\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OA}\cdot\overrightarrow{\rm OB}&=&|\,\overrightarrow{\rm OB}\,|\cdot|\,\overrightarrow{\rm OC}\,|~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}
\end{eqnarray}\)
\(\overrightarrow{\rm OA}=\vec{a}\)、\(\overrightarrow{\rm OB}=\vec{b}\) より、\(\small [\,2\,]\) と \(\small [\,3\,]\) から、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm OA}\times{\rm OD}&=&\vec{a}\cdot\vec{b}\\[5pt]~~~{\rm OB}\times{\rm OC}&=&\vec{a}\cdot\vec{b}
\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm OA}\times{\rm OD}&=&{\rm OB}\times{\rm OC}
\end{eqnarray}\) [終]
