2つのベクトルのなす角

数研出版｜数学Ｃ[708] p.25 練習17

\({\small (1)}~\overrightarrow{a}=\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]\sqrt{3}\end{array}\,\right)\,,~~
\overrightarrow{b}=\left(\,\begin{array}{c}3\\[2pt]\sqrt{3}\end{array}\,\right)\) より、

---

内積は、\(x\) 成分の積＋ \(y\) 成分の積より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&1{\, \small \times \,}3+\sqrt{3}{\, \small \times \,}\sqrt{3}
\\[3pt]~~~&=&3+3
\\[3pt]~~~&=&6~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

---

また、それぞれのベクトルの大きさは、

---

\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}\,|&=&\sqrt{\,1^2+(\sqrt{3})^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,1+3\,}
\\[3pt]~~~&=&2~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)

---

\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{b}\,|&=&\sqrt{\,3^2+(\sqrt{3})^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,9+3\,}
\\[3pt]~~~&=&2\sqrt{3}~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}
\end{eqnarray}\)

---

内積の定義の式 \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta\) に、

---

\({\small[\,1\,]}\)〜\({\small[\,3\,]}\) の値を代入すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~6&=&2\cdot 2\sqrt{3}\cdot\cos\theta
\\[3pt]~~~6&=&4\sqrt{3}\cos\theta
\\[3pt]~4\sqrt{3}\cos\theta&=&6
\\[5pt]~\cos\theta&=&\displaystyle \frac{\,6\,}{\,4\sqrt{3}\,}
\\[5pt]~~~\cos\theta&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)

---

\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) より、\(\theta=30^\circ\) となる

 

\({\small (2)}~\overrightarrow{a}=\left(\,\begin{array}{c}-1\\[2pt]2\end{array}\,\right)\,,~~
\overrightarrow{b}=\left(\,\begin{array}{c}3\\[2pt]-1\end{array}\,\right)\) より、

---

内積は、\(x\) 成分の積＋ \(y\) 成分の積より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&(-1){\, \small \times \,}3+2{\, \small \times \,}(-1)
\\[3pt]~~~&=&-3-2
\\[3pt]~~~&=&-5~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

---

また、それぞれのベクトルの大きさは、

---

\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}\,|&=&\sqrt{\,(-1)^2+2^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,1+4\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{5}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)

---

\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{b}\,|&=&\sqrt{\,3^2+(-1)^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,9+1\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{10}~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}
\end{eqnarray}\)

---

内積の定義の式 \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta\) に、

---

\({\small[\,1\,]}\)〜\({\small[\,3\,]}\) の値を代入すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~-5&=&\sqrt{5}\cdot\sqrt{10}\cdot\cos\theta
\\[3pt]~~~-5&=&5\sqrt{2}\cos\theta
\\[3pt]~5\sqrt{2}\cos\theta&=&-5
\\[5pt]~\cos\theta&=&\displaystyle \frac{\,-5\,}{\,5\sqrt{2}\,}
\\[5pt]~~~\cos\theta&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}
\end{eqnarray}\)

---

\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) より、\(\theta=135^\circ\) となる

数研出版｜高等学校数学Ｃ[709] p.24 練習20

\({\small (1)}~\overrightarrow{a}=\left(\,\begin{array}{c}2\\[2pt]1\end{array}\,\right)\,,~~
\overrightarrow{b}=\left(\,\begin{array}{c}-3\\[2pt]1\end{array}\,\right)\) より、

---

内積は、\(x\) 成分の積＋ \(y\) 成分の積より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&2{\, \small \times \,}(-3)+1{\, \small \times \,}1
\\[3pt]~~~&=&-6+1
\\[3pt]~~~&=&-5~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

---

また、それぞれのベクトルの大きさは、

---

\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}\,|&=&\sqrt{\,2^2+1^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,4+1\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{5}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)

---

\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{b}\,|&=&\sqrt{\,(-3)^2+1^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,9+1\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{10}~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}
\end{eqnarray}\)

---

内積の定義の式 \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta\) に、

---

\({\small[\,1\,]}\)〜\({\small[\,3\,]}\) の値を代入すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~-5&=&\sqrt{5}\cdot\sqrt{10}\cdot\cos\theta
\\[3pt]~~~-5&=&5\sqrt{2}\cos\theta
\\[3pt]~5\sqrt{2}\cos\theta&=&-5
\\[5pt]~\cos\theta&=&\displaystyle \frac{\,-5\,}{\,5\sqrt{2}\,}
\\[5pt]~~~\cos\theta&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}
\end{eqnarray}\)

---

\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) より、\(\theta=135^\circ\) となる

 

\({\small (2)}~\overrightarrow{a}=\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]\sqrt{3}\end{array}\,\right)\,,~~
\overrightarrow{b}=\left(\,\begin{array}{c}\sqrt{3}\\[2pt]1\end{array}\,\right)\) より、

---

内積は、\(x\) 成分の積＋ \(y\) 成分の積より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&1{\, \small \times \,}\sqrt{3}+\sqrt{3}{\, \small \times \,}1
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{3}+\sqrt{3}
\\[3pt]~~~&=&2\sqrt{3}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

---

また、それぞれのベクトルの大きさは、

---

\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}\,|&=&\sqrt{\,1^2+(\sqrt{3})^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,1+3\,}
\\[3pt]~~~&=&2~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)

---

\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{b}\,|&=&\sqrt{\,(\sqrt{3})^2+1^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,3+1\,}
\\[3pt]~~~&=&2~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}
\end{eqnarray}\)

---

内積の定義の式 \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta\) に、

---

\({\small[\,1\,]}\)〜\({\small[\,3\,]}\) の値を代入すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~2\sqrt{3}&=&2\cdot 2\cdot\cos\theta
\\[3pt]~~~2\sqrt{3}&=&4\cos\theta
\\[3pt]~4\cos\theta&=&2\sqrt{3}
\\[5pt]~\cos\theta&=&\displaystyle \frac{\,2\sqrt{3}\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~\cos\theta&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)

---

\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) より、\(\theta=30^\circ\) となる

 

\({\small (3)}~\overrightarrow{a}=\left(\,\begin{array}{c}3\\[2pt]-1\end{array}\,\right)\,,~~
\overrightarrow{b}=\left(\,\begin{array}{c}2\\[2pt]6\end{array}\,\right)\) より、

---

内積は、\(x\) 成分の積＋ \(y\) 成分の積より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&3{\, \small \times \,}2+(-1){\, \small \times \,}6
\\[3pt]~~~&=&6-6
\\[3pt]~~~&=&0~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

---

また、それぞれのベクトルの大きさは、

---

\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}\,|&=&\sqrt{\,3^2+(-1)^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,9+1\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{10}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)

---

\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{b}\,|&=&\sqrt{\,2^2+6^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,4+36\,}
\\[3pt]~~~&=&2\sqrt{10}~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}
\end{eqnarray}\)

---

内積の定義の式 \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta\) に、

---

\({\small[\,1\,]}\)〜\({\small[\,3\,]}\) の値を代入すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~0&=&\sqrt{10}\cdot 2\sqrt{10}\cdot\cos\theta
\\[3pt]~~~0&=&20\cos\theta
\\[3pt]~20\cos\theta&=&0
\\[5pt]~~~\cos\theta&=&0
\end{eqnarray}\)

---

\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) より、\(\theta=90^\circ\) となる

 

\({\small (4)}~\overrightarrow{a}=\left(\,\begin{array}{c}-4\\[2pt]2\end{array}\,\right)\,,~~
\overrightarrow{b}=\left(\,\begin{array}{c}2\\[2pt]-1\end{array}\,\right)\) より、

---

内積は、\(x\) 成分の積＋ \(y\) 成分の積より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&(-4){\, \small \times \,}2+2{\, \small \times \,}(-1)
\\[3pt]~~~&=&-8-2
\\[3pt]~~~&=&-10~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

---

また、それぞれのベクトルの大きさは、

---

\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}\,|&=&\sqrt{\,(-4)^2+2^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,16+4\,}
\\[3pt]~~~&=&2\sqrt{5}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)

---

\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{b}\,|&=&\sqrt{\,2^2+(-1)^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,4+1\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{5}~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}
\end{eqnarray}\)

---

内積の定義の式 \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta\) に、

---

\({\small[\,1\,]}\)〜\({\small[\,3\,]}\) の値を代入すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~-10&=&2\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}\cdot\cos\theta
\\[3pt]~~~-10&=&10\cos\theta
\\[3pt]~10\cos\theta&=&-10
\\[5pt]~~~\cos\theta&=&-1
\end{eqnarray}\)

---

\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) より、\(\theta=180^\circ\) となる

数研出版｜新編数学Ｃ[710] p.25 練習20

\({\small (1)}~\overrightarrow{a}=\left(\,\begin{array}{c}2\\[2pt]1\end{array}\,\right)\,,~~
\overrightarrow{b}=\left(\,\begin{array}{c}-3\\[2pt]1\end{array}\,\right)\) より、

---

内積は、\(x\) 成分の積＋ \(y\) 成分の積より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&2{\, \small \times \,}(-3)+1{\, \small \times \,}1
\\[3pt]~~~&=&-6+1
\\[3pt]~~~&=&-5~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

---

また、それぞれのベクトルの大きさは、

---

\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}\,|&=&\sqrt{\,2^2+1^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,4+1\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{5}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)

---

\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{b}\,|&=&\sqrt{\,(-3)^2+1^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,9+1\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{10}~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}
\end{eqnarray}\)

---

内積の定義の式 \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta\) に、

---

\({\small[\,1\,]}\)〜\({\small[\,3\,]}\) の値を代入すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~-5&=&\sqrt{5}\cdot\sqrt{10}\cdot\cos\theta
\\[3pt]~~~-5&=&5\sqrt{2}\cos\theta
\\[3pt]~5\sqrt{2}\cos\theta&=&-5
\\[5pt]~\cos\theta&=&\displaystyle \frac{\,-5\,}{\,5\sqrt{2}\,}
\\[5pt]~~~\cos\theta&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}
\end{eqnarray}\)

---

\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) より、\(\theta=135^\circ\) となる

 

\({\small (2)}~\overrightarrow{a}=\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]\sqrt{3}\end{array}\,\right)\,,~~
\overrightarrow{b}=\left(\,\begin{array}{c}\sqrt{3}\\[2pt]1\end{array}\,\right)\) より、

---

内積は、\(x\) 成分の積＋ \(y\) 成分の積より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&1{\, \small \times \,}\sqrt{3}+\sqrt{3}{\, \small \times \,}1
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{3}+\sqrt{3}
\\[3pt]~~~&=&2\sqrt{3}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

---

また、それぞれのベクトルの大きさは、

---

\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}\,|&=&\sqrt{\,1^2+(\sqrt{3})^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,1+3\,}
\\[3pt]~~~&=&2~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)

---

\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{b}\,|&=&\sqrt{\,(\sqrt{3})^2+1^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,3+1\,}
\\[3pt]~~~&=&2~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}
\end{eqnarray}\)

---

内積の定義の式 \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta\) に、

---

\({\small[\,1\,]}\)〜\({\small[\,3\,]}\) の値を代入すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~2\sqrt{3}&=&2\cdot 2\cdot\cos\theta
\\[3pt]~~~2\sqrt{3}&=&4\cos\theta
\\[3pt]~4\cos\theta&=&2\sqrt{3}
\\[5pt]~\cos\theta&=&\displaystyle \frac{\,2\sqrt{3}\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~\cos\theta&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)

---

\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) より、\(\theta=30^\circ\) となる

 

\({\small (3)}~\overrightarrow{a}=\left(\,\begin{array}{c}3\\[2pt]-1\end{array}\,\right)\,,~~
\overrightarrow{b}=\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]3\end{array}\,\right)\) より、

---

内積は、\(x\) 成分の積＋ \(y\) 成分の積より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&3{\, \small \times \,}1+(-1){\, \small \times \,}3
\\[3pt]~~~&=&3-3
\\[3pt]~~~&=&0~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

---

また、それぞれのベクトルの大きさは、

---

\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}\,|&=&\sqrt{\,3^2+(-1)^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,9+1\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{10}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)

---

\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{b}\,|&=&\sqrt{\,1^2+3^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,1+9\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{10}~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}
\end{eqnarray}\)

---

内積の定義の式 \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta\) に、

---

\({\small[\,1\,]}\)〜\({\small[\,3\,]}\) の値を代入すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~0&=&\sqrt{10}\cdot\sqrt{10}\cdot\cos\theta
\\[3pt]~~~0&=&10\cos\theta
\\[3pt]~10\cos\theta&=&0
\\[5pt]~~~\cos\theta&=&0
\end{eqnarray}\)

---

\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) より、\(\theta=90^\circ\) となる

 

\({\small (4)}~\overrightarrow{a}=\left(\,\begin{array}{c}-4\\[2pt]2\end{array}\,\right)\,,~~
\overrightarrow{b}=\left(\,\begin{array}{c}2\\[2pt]-1\end{array}\,\right)\) より、

---

内積は、\(x\) 成分の積＋ \(y\) 成分の積より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&(-4){\, \small \times \,}2+2{\, \small \times \,}(-1)
\\[3pt]~~~&=&-8-2
\\[3pt]~~~&=&-10~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

---

また、それぞれのベクトルの大きさは、

---

\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}\,|&=&\sqrt{\,(-4)^2+2^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,16+4\,}
\\[3pt]~~~&=&2\sqrt{5}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)

---

\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{b}\,|&=&\sqrt{\,2^2+(-1)^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,4+1\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{5}~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}
\end{eqnarray}\)

---

内積の定義の式 \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta\) に、

---

\({\small[\,1\,]}\)〜\({\small[\,3\,]}\) の値を代入すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~-10&=&2\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}\cdot\cos\theta
\\[3pt]~~~-10&=&10\cos\theta
\\[3pt]~10\cos\theta&=&-10
\\[5pt]~~~\cos\theta&=&-1
\end{eqnarray}\)

---

\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) より、\(\theta=180^\circ\) となる

 

\({\small (5)}~\overrightarrow{a}=\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]-2\end{array}\,\right)\,,~~
\overrightarrow{b}=\left(\,\begin{array}{c}3\\[2pt]-6\end{array}\,\right)\) より、

---

内積は、\(x\) 成分の積＋ \(y\) 成分の積より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&1{\, \small \times \,}3+(-2){\, \small \times \,}(-6)
\\[3pt]~~~&=&3+12
\\[3pt]~~~&=&15~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

---

また、それぞれのベクトルの大きさは、

---

\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}\,|&=&\sqrt{\,1^2+(-2)^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,1+4\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{5}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)

---

\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{b}\,|&=&\sqrt{\,3^2+(-6)^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,9+36\,}
\\[3pt]~~~&=&3\sqrt{5}~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}
\end{eqnarray}\)

---

内積の定義の式 \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta\) に、

---

\({\small[\,1\,]}\)〜\({\small[\,3\,]}\) の値を代入すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~15&=&\sqrt{5}\cdot 3\sqrt{5}\cdot\cos\theta
\\[3pt]~~~15&=&15\cos\theta
\\[3pt]~15\cos\theta&=&15
\\[5pt]~~~\cos\theta&=&1
\end{eqnarray}\)

---

\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) より、\(\theta=0^\circ\) となる

東京書籍｜Advanced数学Ｃ[701] p.22 問30

\({\small (1)}~\overrightarrow{a}=\left(\,\begin{array}{c}3\\[2pt]0\end{array}\,\right)\,,~~
\overrightarrow{b}=\left(\,\begin{array}{c}-1\\[2pt]\sqrt{3}\end{array}\,\right)\) より、

---

内積は、\(x\) 成分の積＋ \(y\) 成分の積より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&3{\, \small \times \,}(-1)+0{\, \small \times \,}\sqrt{3}
\\[3pt]~~~&=&-3+0
\\[3pt]~~~&=&-3~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

---

また、それぞれのベクトルの大きさは、

---

\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}\,|&=&\sqrt{\,3^2+0^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,9\,}
\\[3pt]~~~&=&3~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)

---

\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{b}\,|&=&\sqrt{\,(-1)^2+(\sqrt{3})^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,1+3\,}
\\[3pt]~~~&=&2~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}
\end{eqnarray}\)

---

内積の定義の式 \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta\) に、

---

\({\small[\,1\,]}\)〜\({\small[\,3\,]}\) の値を代入すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~-3&=&3\cdot 2\cdot\cos\theta
\\[3pt]~~~-3&=&6\cos\theta
\\[3pt]~6\cos\theta&=&-3
\\[5pt]~\cos\theta&=&\displaystyle \frac{\,-3\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~\cos\theta&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)

---

\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) より、\(\theta=120^\circ\) となる

 

\({\small (2)}~\overrightarrow{a}=\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]-2\end{array}\,\right)\,,~~
\overrightarrow{b}=\left(\,\begin{array}{c}3\\[2pt]-1\end{array}\,\right)\) より、

---

内積は、\(x\) 成分の積＋ \(y\) 成分の積より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&1{\, \small \times \,}3+(-2){\, \small \times \,}(-1)
\\[3pt]~~~&=&3+2
\\[3pt]~~~&=&5~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

---

また、それぞれのベクトルの大きさは、

---

\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}\,|&=&\sqrt{\,1^2+(-2)^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,1+4\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{5}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)

---

\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{b}\,|&=&\sqrt{\,3^2+(-1)^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,9+1\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{10}~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}
\end{eqnarray}\)

---

内積の定義の式 \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta\) に、

---

\({\small[\,1\,]}\)〜\({\small[\,3\,]}\) の値を代入すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~5&=&\sqrt{5}\cdot\sqrt{10}\cdot\cos\theta
\\[3pt]~~~5&=&5\sqrt{2}\cos\theta
\\[3pt]~5\sqrt{2}\cos\theta&=&5
\\[5pt]~\cos\theta&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,5\sqrt{2}\,}
\\[5pt]~~~\cos\theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}
\end{eqnarray}\)

---

\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) より、\(\theta=45^\circ\) となる

東京書籍｜Standard数学Ｃ[702] p.29 問20

\({\small (1)}~\overrightarrow{a}=\left(\,\begin{array}{c}3\\[2pt]0\end{array}\,\right)\,,~~
\overrightarrow{b}=\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]\sqrt{3}\end{array}\,\right)\) より、

---

内積は、\(x\) 成分の積＋ \(y\) 成分の積より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&3{\, \small \times \,}1+0{\, \small \times \,}\sqrt{3}
\\[3pt]~~~&=&3+0
\\[3pt]~~~&=&3~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

---

また、それぞれのベクトルの大きさは、

---

\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}\,|&=&\sqrt{\,3^2+0^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,9\,}
\\[3pt]~~~&=&3~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)

---

\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{b}\,|&=&\sqrt{\,1^2+(\sqrt{3})^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,1+3\,}
\\[3pt]~~~&=&2~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}
\end{eqnarray}\)

---

内積の定義の式 \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta\) に、

---

\({\small[\,1\,]}\)〜\({\small[\,3\,]}\) の値を代入すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~3&=&3\cdot 2\cdot\cos\theta
\\[3pt]~~~3&=&6\cos\theta
\\[3pt]~6\cos\theta&=&3
\\[5pt]~\cos\theta&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~\cos\theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)

---

\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) より、\(\theta=60^\circ\) となる

 

\({\small (2)}~\overrightarrow{a}=\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]\sqrt{3}\end{array}\,\right)\,,~~
\overrightarrow{b}=\left(\,\begin{array}{c}\sqrt{3}\\[2pt]1\end{array}\,\right)\) より、

---

内積は、\(x\) 成分の積＋ \(y\) 成分の積より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&1{\, \small \times \,}\sqrt{3}+\sqrt{3}{\, \small \times \,}1
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{3}+\sqrt{3}
\\[3pt]~~~&=&2\sqrt{3}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

---

また、それぞれのベクトルの大きさは、

---

\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}\,|&=&\sqrt{\,1^2+(\sqrt{3})^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,1+3\,}
\\[3pt]~~~&=&2~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)

---

\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{b}\,|&=&\sqrt{\,(\sqrt{3})^2+1^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,3+1\,}
\\[3pt]~~~&=&2~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}
\end{eqnarray}\)

---

内積の定義の式 \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta\) に、

---

\({\small[\,1\,]}\)〜\({\small[\,3\,]}\) の値を代入すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~2\sqrt{3}&=&2\cdot 2\cdot\cos\theta
\\[3pt]~~~2\sqrt{3}&=&4\cos\theta
\\[3pt]~4\cos\theta&=&2\sqrt{3}
\\[5pt]~\cos\theta&=&\displaystyle \frac{\,2\sqrt{3}\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~\cos\theta&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)

---

\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) より、\(\theta=30^\circ\) となる

 

\({\small (3)}~\overrightarrow{a}=\left(\,\begin{array}{c}2\\[2pt]1\end{array}\,\right)\,,~~
\overrightarrow{b}=\left(\,\begin{array}{c}3\\[2pt]-6\end{array}\,\right)\) より、

---

内積は、\(x\) 成分の積＋ \(y\) 成分の積より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&2{\, \small \times \,}3+1{\, \small \times \,}(-6)
\\[3pt]~~~&=&6-6
\\[3pt]~~~&=&0~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

---

また、それぞれのベクトルの大きさは、

---

\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}\,|&=&\sqrt{\,2^2+1^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,4+1\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{5}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)

---

\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{b}\,|&=&\sqrt{\,3^2+(-6)^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,9+36\,}
\\[3pt]~~~&=&3\sqrt{5}~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}
\end{eqnarray}\)

---

内積の定義の式 \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta\) に、

---

\({\small[\,1\,]}\)〜\({\small[\,3\,]}\) の値を代入すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~0&=&\sqrt{5}\cdot 3\sqrt{5}\cdot\cos\theta
\\[3pt]~~~0&=&15\cos\theta
\\[3pt]~15\cos\theta&=&0
\\[5pt]~~~\cos\theta&=&0
\end{eqnarray}\)

---

\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) より、\(\theta=90^\circ\) となる

 

\({\small (4)}~\overrightarrow{a}=\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]-2\end{array}\,\right)\,,~~
\overrightarrow{b}=\left(\,\begin{array}{c}-2\\[2pt]4\end{array}\,\right)\) より、

---

内積は、\(x\) 成分の積＋ \(y\) 成分の積より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&1{\, \small \times \,}(-2)+(-2){\, \small \times \,}4
\\[3pt]~~~&=&-2-8
\\[3pt]~~~&=&-10~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

---

また、それぞれのベクトルの大きさは、

---

\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}\,|&=&\sqrt{\,1^2+(-2)^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,1+4\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{5}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)

---

\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{b}\,|&=&\sqrt{\,(-2)^2+4^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,4+16\,}
\\[3pt]~~~&=&2\sqrt{5}~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}
\end{eqnarray}\)

---

内積の定義の式 \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta\) に、

---

\({\small[\,1\,]}\)〜\({\small[\,3\,]}\) の値を代入すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~-10&=&\sqrt{5}\cdot 2\sqrt{5}\cdot\cos\theta
\\[3pt]~~~-10&=&10\cos\theta
\\[3pt]~10\cos\theta&=&-10
\\[5pt]~~~\cos\theta&=&-1
\end{eqnarray}\)

---

\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) より、\(\theta=180^\circ\) となる

東京書籍｜Standard数学Ｃ[702] p.33 Training 10

\({\small (1)}~\overrightarrow{a}=\left(\,\begin{array}{c}-1\\[2pt]4\end{array}\,\right)\,,~~
\overrightarrow{b}=\left(\,\begin{array}{c}2\\[2pt]-8\end{array}\,\right)\) より、

---

内積は、\(x\) 成分の積＋ \(y\) 成分の積より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&(-1){\, \small \times \,}2+4{\, \small \times \,}(-8)
\\[3pt]~~~&=&-2-32
\\[3pt]~~~&=&-34~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

---

また、それぞれのベクトルの大きさは、

---

\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}\,|&=&\sqrt{\,(-1)^2+4^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,1+16\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{17}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)

---

\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{b}\,|&=&\sqrt{\,2^2+(-8)^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,4+64\,}
\\[3pt]~~~&=&2\sqrt{17}~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}
\end{eqnarray}\)

---

内積の定義の式 \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta\) に、

---

\({\small[\,1\,]}\)〜\({\small[\,3\,]}\) の値を代入すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~-34&=&\sqrt{17}\cdot 2\sqrt{17}\cdot\cos\theta
\\[3pt]~~~-34&=&34\cos\theta
\\[3pt]~34\cos\theta&=&-34
\\[5pt]~~~\cos\theta&=&-1
\end{eqnarray}\)

---

\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) より、\(\theta=180^\circ\) となる

 

\({\small (2)}~\overrightarrow{a}=\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]-\sqrt{3}\end{array}\,\right)\,,~~
\overrightarrow{b}=\left(\,\begin{array}{c}-\sqrt{3}\\[2pt]1\end{array}\,\right)\) より、

---

内積は、\(x\) 成分の積＋ \(y\) 成分の積より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&1{\, \small \times \,}(-\sqrt{3})+(-\sqrt{3}){\, \small \times \,}1
\\[3pt]~~~&=&-\sqrt{3}-\sqrt{3}
\\[3pt]~~~&=&-2\sqrt{3}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

---

また、それぞれのベクトルの大きさは、

---

\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}\,|&=&\sqrt{\,1^2+(-\sqrt{3})^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,1+3\,}
\\[3pt]~~~&=&2~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)

---

\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{b}\,|&=&\sqrt{\,(-\sqrt{3})^2+1^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,3+1\,}
\\[3pt]~~~&=&2~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}
\end{eqnarray}\)

---

内積の定義の式 \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta\) に、

---

\({\small[\,1\,]}\)〜\({\small[\,3\,]}\) の値を代入すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~-2\sqrt{3}&=&2\cdot 2\cdot\cos\theta
\\[3pt]~~~-2\sqrt{3}&=&4\cos\theta
\\[3pt]~4\cos\theta&=&-2\sqrt{3}
\\[5pt]~\cos\theta&=&\displaystyle \frac{\,-2\sqrt{3}\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~\cos\theta&=&-\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)

---

\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) より、\(\theta=150^\circ\) となる

 

\({\small (3)}~\overrightarrow{a}=\left(\,\begin{array}{c}2\\[2pt]1\end{array}\,\right)\,,~~
\overrightarrow{b}=\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]-2\end{array}\,\right)\) より、

---

内積は、\(x\) 成分の積＋ \(y\) 成分の積より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&2{\, \small \times \,}1+1{\, \small \times \,}(-2)
\\[3pt]~~~&=&2-2
\\[3pt]~~~&=&0~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

---

また、それぞれのベクトルの大きさは、

---

\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}\,|&=&\sqrt{\,2^2+1^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,4+1\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{5}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)

---

\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{b}\,|&=&\sqrt{\,1^2+(-2)^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,1+4\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{5}~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}
\end{eqnarray}\)

---

内積の定義の式 \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta\) に、

---

\({\small[\,1\,]}\)〜\({\small[\,3\,]}\) の値を代入すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~0&=&\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}\cdot\cos\theta
\\[3pt]~~~0&=&5\cos\theta
\\[3pt]~5\cos\theta&=&0
\\[5pt]~~~\cos\theta&=&0
\end{eqnarray}\)

---

\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) より、\(\theta=90^\circ\) となる

 

\({\small (4)}~\overrightarrow{a}=\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]\sqrt{2}\end{array}\,\right)\,,~~
\overrightarrow{b}=\left(\,\begin{array}{c}1-\sqrt{2}\\[2pt]1+\sqrt{2}\end{array}\,\right)\) より、

---

内積は、\(x\) 成分の積＋ \(y\) 成分の積より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&1{\, \small \times \,}(1-\sqrt{2})+\sqrt{2}{\, \small \times \,}(1+\sqrt{2})
\\[3pt]~~~&=&1-\sqrt{2}+\sqrt{2}+2
\\[3pt]~~~&=&3~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

---

また、それぞれのベクトルの大きさは、

---

\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}\,|&=&\sqrt{\,1^2+(\sqrt{2})^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,1+2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{3}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)

---

\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{b}\,|&=&\sqrt{\,(1-\sqrt{2})^2+(1+\sqrt{2})^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,1-2\sqrt{2}+2+1+2\sqrt{2}+2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{6}~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}
\end{eqnarray}\)

---

内積の定義の式 \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta\) に、

---

\({\small[\,1\,]}\)〜\({\small[\,3\,]}\) の値を代入すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~3&=&\sqrt{3}\cdot\sqrt{6}\cdot\cos\theta
\\[3pt]~~~3&=&3\sqrt{2}\cos\theta
\\[3pt]~3\sqrt{2}\cos\theta&=&3
\\[5pt]~\cos\theta&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,3\sqrt{2}\,}
\\[5pt]~~~\cos\theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}
\end{eqnarray}\)

---

\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) より、\(\theta=45^\circ\) となる