このページは、「ベクトルの垂直と大きさの条件」の練習問題アーカイブページとなります。
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ベクトルの垂直と大きさの条件 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01ベクトル \(\overrightarrow{a}=(2~,~-1)\) に垂直な単位ベクトル \(\overrightarrow{e}\) を求めよ。
数研出版｜数学Ｃ[708] p.26 練習18
求めるベクトルを \( \overrightarrow{e}=(x~,~y) \) とおくと、
\( \overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{e} \) より、内積 \( \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{e}=0 \) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{e}&=&2{\, \small \times \,}x+(-1){\, \small \times \,}y
\\[3pt]~~~&=&2x-y=0~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
また、単位ベクトルより、 \( |\,\overrightarrow{e}\,|=1 \) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{e}\,|=\sqrt{x^2+y^2}&=&1
\\[3pt]~~~x^2+y^2&=&1~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より \( y=2x \) を \({\small [\,2\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+(2x)^2&=&1
\\[3pt]~~~x^2+4x^2&=&1
\\[3pt]~~~5x^2&=&1
\\[5pt]~~~x^2&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~x&=&\pm\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{5}\,}
\\[5pt]~~~x&=&\pm\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}\,}{\,5\,}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より \( y=2x \) であるので、それぞれの \(x\) の値を代入すると、
\(x=\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{5}\) のとき、\(y=2{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{5}=\displaystyle \frac{2\sqrt{5}}{5}\)
\(x=-\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{5}\) のとき、\(y=2{\, \small \times \,}\left(-\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{5}\right)=-\displaystyle \frac{2\sqrt{5}}{5}\)
したがって、
\(\left(\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{5}~,~\displaystyle \frac{2\sqrt{5}}{5}\right)~,~\left(-\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{5}~,~-\displaystyle \frac{2\sqrt{5}}{5}\right)\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\({\small (1)}~\) \(\overrightarrow{a}=(2~,~1)\) に垂直で大きさが \(\sqrt{10}\) のベクトル \(\overrightarrow{b}\) を求めよ。
\({\small (2)}~\) \(\overrightarrow{a}=(4~,~3)\) に垂直な単位ベクトル \(\overrightarrow{e}\) を求めよ。
\({\small (2)}~\) \(\overrightarrow{a}=(4~,~3)\) に垂直な単位ベクトル \(\overrightarrow{e}\) を求めよ。
数研出版｜高等学校数学Ｃ[709] p.25 練習22
数研出版｜新編数学Ｃ[710] p.26 練習22
\({\small (1)}~\)求めるベクトルを \( \overrightarrow{b}=(x~,~y) \) とおくと、
\( \overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b} \) より、内積 \( \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0 \) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&2{\, \small \times \,}x+1{\, \small \times \,}y
\\[3pt]~~~&=&2x+y=0~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
また、大きさが \( \sqrt{10} \) より、 \( |\,\overrightarrow{b}\,|=\sqrt{10} \) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{b}\,|=\sqrt{x^2+y^2}&=&\sqrt{10}
\\[3pt]~~~x^2+y^2&=&10~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より \( y=-2x \) を \({\small [\,2\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+(-2x)^2&=&10
\\[3pt]~~~x^2+4x^2&=&10
\\[3pt]~~~5x^2&=&10
\\[3pt]~~~x^2&=&2
\\[3pt]~~~x&=&\pm\sqrt{2}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より \( y=-2x \) であるので、それぞれの \(x\) の値を代入すると、
\(x=\sqrt{2}\) のとき、\(y=-2{\, \small \times \,}\sqrt{2}=-2\sqrt{2}\)
\(x=-\sqrt{2}\) のとき、\(y=-2{\, \small \times \,}(-\sqrt{2})=2\sqrt{2}\)
したがって、
\((\sqrt{2}~,~-2\sqrt{2})~,~(-\sqrt{2}~,~2\sqrt{2})\) となる
\({\small (2)}~\)求めるベクトルを \( \overrightarrow{e}=(x~,~y) \) とおくと、
\( \overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{e} \) より、内積 \( \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{e}=0 \) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{e}&=&4{\, \small \times \,}x+3{\, \small \times \,}y
\\[3pt]~~~&=&4x+3y=0~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
また、単位ベクトルより、 \( |\,\overrightarrow{e}\,|=1 \) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{e}\,|=\sqrt{x^2+y^2}&=&1
\\[3pt]~~~x^2+y^2&=&1~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より \( y=-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}x \) を \({\small [\,2\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+\left(-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}x\right)^2&=&1
\\[5pt]~~~x^2+\displaystyle \frac{\,16\,}{\,9\,}x^2&=&1
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,25\,}{\,9\,}x^2&=&1
\\[5pt]~~~x^2&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,25\,}
\\[5pt]~~~x&=&\pm\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より \( y=-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}x \) であるので、それぞれの \(x\) の値を代入すると、
\(x=\displaystyle \frac{3}{5}\) のとき、\(y=-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{3}{5}=-\displaystyle \frac{4}{5}\)
\(x=-\displaystyle \frac{3}{5}\) のとき、\(y=-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}{\, \small \times \,}\left(-\displaystyle \frac{3}{5}\right)=\displaystyle \frac{4}{5}\)
したがって、
\(\left(\displaystyle \frac{3}{5}~,~-\displaystyle \frac{4}{5}\right)~,~\left(-\displaystyle \frac{3}{5}~,~\displaystyle \frac{4}{5}\right)\) となる
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\(\overrightarrow{a}=(-4~,~3)\) に垂直な単位ベクトルを求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ｃ[701] p.22 問32
求めるベクトルを \( \overrightarrow{e}=(x~,~y) \) とおくと、
\( \overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{e} \) より、内積 \( \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{e}=0 \) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{e}&=&(-4){\, \small \times \,}x+3{\, \small \times \,}y
\\[3pt]~~~&=&-4x+3y=0~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
また、単位ベクトルより、 \( |\,\overrightarrow{e}\,|=1 \) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{e}\,|=\sqrt{x^2+y^2}&=&1
\\[3pt]~~~x^2+y^2&=&1~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より \( y=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}x \) を \({\small [\,2\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+\left(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}x\right)^2&=&1
\\[5pt]~~~x^2+\displaystyle \frac{\,16\,}{\,9\,}x^2&=&1
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,25\,}{\,9\,}x^2&=&1
\\[5pt]~~~x^2&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,25\,}
\\[5pt]~~~x&=&\pm\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より \( y=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}x \) であるので、それぞれの \(x\) の値を代入すると、
\(x=\displaystyle \frac{3}{5}\) のとき、\(y=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{3}{5}=\displaystyle \frac{4}{5}\)
\(x=-\displaystyle \frac{3}{5}\) のとき、\(y=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}{\, \small \times \,}\left(-\displaystyle \frac{3}{5}\right)=-\displaystyle \frac{4}{5}\)
したがって、
\(\left(\displaystyle \frac{3}{5}~,~\displaystyle \frac{4}{5}\right)~,~\left(-\displaystyle \frac{3}{5}~,~-\displaystyle \frac{4}{5}\right)\) となる
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04\(\overrightarrow{a}=(3~,~4)\) に垂直な単位ベクトルを求めよ。
東京書籍｜Standard数学Ｃ[702] p.29 問22
求めるベクトルを \( \overrightarrow{e}=(x~,~y) \) とおくと、
\( \overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{e} \) より、内積 \( \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{e}=0 \) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{e}&=&3{\, \small \times \,}x+4{\, \small \times \,}y
\\[3pt]~~~&=&3x+4y=0~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
また、単位ベクトルより、 \( |\,\overrightarrow{e}\,|=1 \) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{e}\,|=\sqrt{x^2+y^2}&=&1
\\[3pt]~~~x^2+y^2&=&1~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より \( y=-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}x \) を \({\small [\,2\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+\left(-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}x\right)^2&=&1
\\[5pt]~~~x^2+\displaystyle \frac{\,9\,}{\,16\,}x^2&=&1
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,25\,}{\,16\,}x^2&=&1
\\[5pt]~~~x^2&=&\displaystyle \frac{\,16\,}{\,25\,}
\\[5pt]~~~x&=&\pm\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より \( y=-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}x \) であるので、それぞれの \(x\) の値を代入すると、
\(x=\displaystyle \frac{4}{5}\) のとき、\(y=-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{4}{5}=-\displaystyle \frac{3}{5}\)
\(x=-\displaystyle \frac{4}{5}\) のとき、\(y=-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}{\, \small \times \,}\left(-\displaystyle \frac{4}{5}\right)=\displaystyle \frac{3}{5}\)
したがって、
\(\left(\displaystyle \frac{4}{5}~,~-\displaystyle \frac{3}{5}\right)~,~\left(-\displaystyle \frac{4}{5}~,~\displaystyle \frac{3}{5}\right)\) となる
