- 数学C｜平面上のベクトル「ベクトルの成分と大きさの最小値」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜ベクトルの成分と大きさの最小値
平面上のベクトル 30☆\(\overrightarrow{a}=(1~,~ 2)~,~ \overrightarrow{b}=(3~,~ 1)\) のとき、\(|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|\) の最小値とそのときの \(t\) の値の求め方は？
高校数学C｜平面上のベクトル
解法のPoint
ベクトルの成分と大きさの最小値
Point：ベクトルの成分と大きさの最小値
① \(\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\) の成分を計算する。
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}=\left(\,\begin{array}{c}1+3t\\[2pt]2+t\end{array}\,\right)
\end{eqnarray}\)
② 大きさの2乗 \(|\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|^2\) を計算する。
※ \(|\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|\) のままだと全体に平方根が付くので、計算しやすいように2乗する。
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|^2
=10t^2+10t+5\end{eqnarray}\)
③ 平方完成して、\(|\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|^2\) の最小値を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|^2=10\left(t+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2+\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
④ 平方根をとった値が \(|\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|\) の最小値となる。
※ \(t\) の値は③と同じ値で最小値をとる。
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|
&=&\sqrt{\,10\left(t+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2+\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\,}
\end{eqnarray}\)
よって、\(t=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) で最小値 \(\displaystyle \frac{\,\sqrt{10}\,}{\,2\,}\)
成分表示のベクトル \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}\) についての \(|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|\) の最小値は、
① \(\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\) の成分を計算する。
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}=\left(\,\begin{array}{c}1+3t\\[2pt]2+t\end{array}\,\right)
\end{eqnarray}\)
② 大きさの2乗 \(|\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|^2\) を計算する。
※ \(|\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|\) のままだと全体に平方根が付くので、計算しやすいように2乗する。
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|^2
=10t^2+10t+5\end{eqnarray}\)
③ 平方完成して、\(|\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|^2\) の最小値を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|^2=10\left(t+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2+\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
④ 平方根をとった値が \(|\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|\) の最小値となる。
※ \(t\) の値は③と同じ値で最小値をとる。
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|
&=&\sqrt{\,10\left(t+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2+\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\,}
\end{eqnarray}\)
よって、\(t=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) で最小値 \(\displaystyle \frac{\,\sqrt{10}\,}{\,2\,}\)
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
※ 教科書などの方法の横並びだと式が長くなり、対応する成分を見落として計算ミスが増えます。ここでは成分を縦に並べて、上から順に対応する成分同士を計算できるようにしています。ただし、答えを書くときは横並びに戻しておきましょう。
詳しい解説｜ベクトルの成分と大きさの最小値
平面上のベクトル 30☆\(\overrightarrow{a}=(1~,~ 2)~,~ \overrightarrow{b}=(3~,~ 1)\) のとき、\(|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|\) の最小値とそのときの \(t\) の値の求め方は？
高校数学C｜平面上のベクトル
\(\overrightarrow{a}=\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]2\end{array}\,\right)~,~\overrightarrow{b}=\left(\,\begin{array}{c}3\\[2pt]1\end{array}\,\right)\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}&=&\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]2\end{array}\,\right)+t\left(\,\begin{array}{c}3\\[2pt]1\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}1+3t\\[2pt]2+t\end{array}\,\right)
\end{eqnarray}\)
これより、\(|\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|^2\) を計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~|\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|^2&=&(1+3t)^2+(2+t)^2
\\[3pt]~~~&=&1+6t+9t^2+4+4t+t^2
\\[3pt]~~~&=&10t^2+10t+5
\\[3pt]~~~&=&10\left(t^2+t\right)+5
\\[5pt]~~~&=&10\left(t^2+t+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\right)+5
\\[5pt]~~~&=&10\left(t+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2+10\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\right)+5
\\[5pt]~~~&=&10\left(t+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}+5
\\[5pt]~~~&=&10\left(t+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2+\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&1+6t+9t^2+4+4t+t^2
\\[3pt]~~~&=&10t^2+10t+5
\\[3pt]~~~&=&10\left(t^2+t\right)+5
\\[5pt]~~~&=&10\left(t^2+t+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\right)+5
\\[5pt]~~~&=&10\left(t+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2+10\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\right)+5
\\[5pt]~~~&=&10\left(t+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}+5
\\[5pt]~~~&=&10\left(t+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2+\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
よって、
\(|\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|^2\) は、
\(t=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) のとき、最小値 \(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\)
したがって、
\(|\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|\) は、
\(t=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) のとき最小値 \(\sqrt{\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{10}\,}{\,2\,}\)
※ \(t\) の値は同じ値で最小値をとる。
※ 教科書などの方法の横並びだと式が長くなり、対応する成分を見落として計算ミスが増えます。ここでは成分を縦に並べて、上から順に対応する成分同士を計算できるようにしています。ただし、答えを書くときは横並びに戻しておきましょう。
