ベクトルの成分と大きさの最小値

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問題アーカイブ01
問題アーカイブ02
問題アーカイブ03

問題アーカイブ01

問題アーカイブ01\(\overrightarrow{a}=(2~,~ 3)~,~ \overrightarrow{b}=(1~,~ -2)\) のとき、\(|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|\) の最小値とそのときの実数 \(t\) の値を求めよ。

数研出版｜数学Ｃ[708] p.30 問題 2

\(\overrightarrow{a}=\left(\,\begin{array}{c}2\\[2pt]3\end{array}\,\right)~,~\overrightarrow{b}=\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]-2\end{array}\,\right)\) より、

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}&=&\left(\,\begin{array}{c}2\\[2pt]3\end{array}\,\right)+t\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]-2\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}2+t\\[2pt]3-2t\end{array}\,\right)
\end{eqnarray}\)

これより、\(|\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|^2\) を計算すると、

\(\begin{eqnarray}~~|\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|^2&=&(2+t)^2+(3-2t)^2
\\[3pt]~~~&=&4+4t+t^2+9-12t+4t^2
\\[3pt]~~~&=&5t^2-8t+13
\\[3pt]~~~&=&5\left(t^2-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,5\,}t\right)+13
\\[5pt]~~~&=&5\left(t^2-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,5\,}t+\displaystyle \frac{\,16\,}{\,25\,}-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,25\,}\right)+13
\\[5pt]~~~&=&5\left(t-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\right)^2+5\left(-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,25\,}\right)+13
\\[5pt]~~~&=&5\left(t-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\right)^2-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,5\,}+13
\\[5pt]~~~&=&5\left(t-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\right)^2+\displaystyle \frac{\,49\,}{\,5\,}
\end{eqnarray}\)

よって、

　\(|\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|^2\) は、

　　\(t=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\) のとき、最小値 \(\displaystyle \frac{\,49\,}{\,5\,}\)

したがって、

　\(|\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|\) は、

　　\(t=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\) のとき最小値 \(\sqrt{\displaystyle \frac{\,49\,}{\,5\,}}=\displaystyle \frac{\,7\sqrt{5}\,}{\,5\,}\)

※ 教科書などの方法の横並びだと式が長くなり、対応する成分を見落として計算ミスが増えます。ここでは成分を縦に並べて、上から順に対応する成分同士を計算できるようにしています。ただし、答えを書くときは横並びに戻しておきましょう。

問題アーカイブ02

問題アーカイブ02\(\overrightarrow{a}=(3~,~ 1)~,~ \overrightarrow{b}=(1~,~ 2)\) と実数 \(t\) に対して、\(\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\) とする。
\({\small (2)}~|\,\overrightarrow{c}\,|\) が最小となるとき，\(\overrightarrow{b}\perp\overrightarrow{c}\) であることを示せ。

数研出版｜新編数学Ｃ[710] p.48 章末問題A 2(2)

\(\overrightarrow{a}=\left(\,\begin{array}{c}3\\[2pt]1\end{array}\,\right)~,~\overrightarrow{b}=\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]2\end{array}\,\right)\) より、

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{c}&=&\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}3\\[2pt]1\end{array}\,\right)+t\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]2\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}3+t\\[2pt]1+2t\end{array}\,\right)
\end{eqnarray}\)

これより、\(|\,\overrightarrow{c}\,|^2\) を計算すると、

\(\begin{eqnarray}~~|\,\overrightarrow{c}\,|^2&=&(3+t)^2+(1+2t)^2
\\[3pt]~~~&=&9+6t+t^2+1+4t+4t^2
\\[3pt]~~~&=&5t^2+10t+10
\\[3pt]~~~&=&5\left(t^2+2t\right)+10
\\[5pt]~~~&=&5\left(t^2+2t+1-1\right)+10
\\[5pt]~~~&=&5\left(t+1\right)^2+5\left(-1\right)+10
\\[5pt]~~~&=&5\left(t+1\right)^2+5
\end{eqnarray}\)

よって、

　\(|\,\overrightarrow{c}\,|^2\) は、\(t=-1\) のとき最小

\(t=-1\) のとき、

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{c}&=&\left(\,\begin{array}{c}3+(-1)\\[2pt]1+2\cdot(-1)\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}2\\[2pt]-1\end{array}\,\right)
\end{eqnarray}\)

ここで、\(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}\) を計算すると、

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}&=&1\cdot 2+2\cdot(-1)
\\[3pt]~~~&=&2-2
\\[3pt]~~~&=&0
\end{eqnarray}\)

したがって、\(|\,\overrightarrow{c}\,|\) が最小となるとき、\(\overrightarrow{b}\perp\overrightarrow{c}\)

問題アーカイブ03

問題アーカイブ03\(\overrightarrow{a}=(6~,~ -2)~,~ \overrightarrow{b}=(0~,~ 2)~,~\)\(\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\) とするとき、次の問に答えよ。ただし、\(t\) は実数とする。
\({\small (1)}~\) \(|\overrightarrow{p}|=10\) となるような \(t\) の値を求めよ。
\({\small (2)}~\) \(|\overrightarrow{p}|\) の最小値を求めよ。また、そのときの \(t\) の値を求めよ。

東京書籍｜Advanced数学Ｃ[701] p.25 問題 2

\({\small (1)}~\)\(\overrightarrow{a}=\left(\,\begin{array}{c}6\\[2pt]-2\end{array}\,\right)~,~\overrightarrow{b}=\left(\,\begin{array}{c}0\\[2pt]2\end{array}\,\right)\) より、

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{p}&=&\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}6\\[2pt]-2\end{array}\,\right)+t\left(\,\begin{array}{c}0\\[2pt]2\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}6\\[2pt]-2+2t\end{array}\,\right)
\end{eqnarray}\)

\(|\overrightarrow{p}|=10\) のとき、\(|\,\overrightarrow{p}\,|^2=100\) より、

\(\begin{eqnarray}~~~6^2+(-2+2t)^2&=&100
\\[3pt]~~~36+4-8t+4t^2&=&100
\\[3pt]~~~4t^2-8t+40&=&100
\\[3pt]~~~4t^2-8t-60&=&0
\\[3pt]~~~t^2-2t-15&=&0
\\[3pt]~~~(t-5)(t+3)&=&0
\end{eqnarray}\)

したがって、\(t=-3~,~5\)

\({\small (2)}~\)\(\overrightarrow{p}=\left(\,\begin{array}{c}6\\[2pt]-2+2t\end{array}\,\right)\) より、

\(|\,\overrightarrow{p}\,|^2\) を計算すると、

\(\begin{eqnarray}~~|\,\overrightarrow{p}\,|^2&=&6^2+(-2+2t)^2
\\[3pt]~~~&=&36+4-8t+4t^2
\\[3pt]~~~&=&4t^2-8t+40
\\[3pt]~~~&=&4\left(t^2-2t\right)+40
\\[5pt]~~~&=&4\left(t^2-2t+1-1\right)+40
\\[5pt]~~~&=&4\left(t-1\right)^2+4\left(-1\right)+40
\\[5pt]~~~&=&4\left(t-1\right)^2-4+40
\\[5pt]~~~&=&4\left(t-1\right)^2+36
\end{eqnarray}\)

よって、

　\(|\,\overrightarrow{p}\,|^2\) は、

　　\(t=1\) のとき、最小値 \(36\)

したがって、

　\(|\,\overrightarrow{p}\,|\) は、

　　\(t=1\) のとき最小値 \(\sqrt{36}=6\)