- 数学C｜平面上のベクトル「ベクトルの成分と大きさの条件」の基本例題解説ページです。
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問題｜ベクトルの成分と大きさの条件
平面上のベクトル 31☆\(\overrightarrow{a}=(1~,~ 2)~,~ \overrightarrow{b}=(3~,~ 1)\) のとき、\(|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|=\sqrt{5}\) となるような \(t\) の値の求め方は？
高校数学C｜平面上のベクトル
解法のPoint
ベクトルの成分と大きさの条件
Point：ベクトルの成分と大きさの条件
① \(\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\) の成分を計算する。
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}=\left(\,\begin{array}{c}1+3t\\[2pt]2+t\end{array}\,\right)
\end{eqnarray}\)
② 大きさの2乗 \(|\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|^2\) を計算する。
※ \(|\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|\) のままだと全体に平方根が付くので、計算しやすいように2乗する。
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|^2
=10t^2+10t+5\end{eqnarray}\)
③ 大きさの条件の両辺を2乗して、方程式を解く。
\(|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|=\sqrt{5}\) より、
\(\begin{eqnarray}10t^2+10t+5&=&5\\[3pt]~~~t&=&0~,~-1\end{eqnarray}\)
成分表示のベクトル \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}\) についての \(|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|\) の条件式は、
① \(\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\) の成分を計算する。
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}=\left(\,\begin{array}{c}1+3t\\[2pt]2+t\end{array}\,\right)
\end{eqnarray}\)
② 大きさの2乗 \(|\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|^2\) を計算する。
※ \(|\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|\) のままだと全体に平方根が付くので、計算しやすいように2乗する。
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|^2
=10t^2+10t+5\end{eqnarray}\)
③ 大きさの条件の両辺を2乗して、方程式を解く。
\(|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|=\sqrt{5}\) より、
\(\begin{eqnarray}10t^2+10t+5&=&5\\[3pt]~~~t&=&0~,~-1\end{eqnarray}\)
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※ 教科書などの方法の横並びだと式が長くなり、対応する成分を見落として計算ミスが増えます。ここでは成分を縦に並べて、上から順に対応する成分同士を計算できるようにしています。ただし、答えを書くときは横並びに戻しておきましょう。
詳しい解説｜ベクトルの成分と大きさの条件
平面上のベクトル 31\(\overrightarrow{a}=(1~,~ 2)~,~ \overrightarrow{b}=(3~,~ 1)\) のとき、\(|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|=\sqrt{5}\) となるような \(t\) の値の求め方は？
高校数学C｜平面上のベクトル
\(\overrightarrow{a}=\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]2\end{array}\,\right)~,~\overrightarrow{b}=\left(\,\begin{array}{c}3\\[2pt]1\end{array}\,\right)\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}&=&\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]2\end{array}\,\right)+t\left(\,\begin{array}{c}3\\[2pt]1\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}1+3t\\[2pt]2+t\end{array}\,\right)
\end{eqnarray}\)
これより、\(|\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|^2\) を計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~|\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|^2&=&(1+3t)^2+(2+t)^2
\\[3pt]~~~&=&1+6t+9t^2+4+4t+t^2
\\[3pt]~~~&=&10t^2+10t+5~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
ここで、\(|\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|=\sqrt{5}\) の両辺を2乗すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{14pt}~~~|\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|^2=5\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~10t^2+10t+5&=&5
\\[3pt]~~~10t^2+10t&=&0
\\[3pt]~~~10t(t+1)&=&0
\\[3pt]~~~t&=&0~,~-1
\end{eqnarray}\)
※ 教科書などの方法の横並びだと式が長くなり、対応する成分を見落として計算ミスが増えます。ここでは成分を縦に並べて、上から順に対応する成分同士を計算できるようにしています。ただし、答えを書くときは横並びに戻しておきましょう。
