ベクトルの成分と大きさの条件

数研出版｜新編数学Ｃ[710] p.48 章末問題A 2(1)

\(\overrightarrow{a}=\left(\,\begin{array}{c}3\\[2pt]1\end{array}\,\right)~,~\overrightarrow{b}=\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]2\end{array}\,\right)\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{c}&=&\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}3\\[2pt]1\end{array}\,\right)+t\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]2\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}3+t\\[2pt]1+2t\end{array}\,\right)
\end{eqnarray}\)

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これより、\(|\,\overrightarrow{c}\,|^2\) を計算すると、

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\(\begin{eqnarray}~~|\,\overrightarrow{c}\,|^2&=&(3+t)^2+(1+2t)^2
\\[3pt]~~~&=&9+6t+t^2+1+4t+4t^2
\\[3pt]~~~&=&5t^2+10t+10~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

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ここで、\(|\,\overrightarrow{c}\,|=5\) の両辺を2乗すると、

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\(\begin{eqnarray}\hspace{14pt}~~~|\,\overrightarrow{c}\,|^2=25\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}\) を代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~5t^2+10t+10&=&25
\\[3pt]~~~5t^2+10t-15&=&0
\\[3pt]~~~t^2+2t-3&=&0
\\[3pt]~~~(t+3)(t-1)&=&0
\\[3pt]~~~t&=&-3~,~1
\end{eqnarray}\)

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※ 教科書などの方法の横並びだと式が長くなり、対応する成分を見落として計算ミスが増えます。ここでは成分を縦に並べて、上から順に対応する成分同士を計算できるようにしています。ただし、答えを書くときは横並びに戻しておきましょう。