- 数学C｜平面上のベクトル「内積とベクトルの和の大きさ」の基本例題解説ページです。
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問題｜内積とベクトルの和の大きさ
平面上のベクトル 33\(|\overrightarrow{a}|=2~,~ |\overrightarrow{b}|=3~,~ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=4\) のとき、\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) の大きさの求め方は？
高校数学C｜平面上のベクトル
解法のPoint
内積とベクトルの和の大きさ
Point：内積とベクトルの和の大きさ
① \(|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|\) の2乗の値を、同じベクトルの内積として計算する。
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|^{2}
&=&(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})
\\[3pt]~~~&=&|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}+2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}
\end{eqnarray}\)
② 条件を代入し、\(|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|^2\) の値を求めて、平方根をとり、\(|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|\) を求める。
\(|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|^2=21\) より、\(|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|=\sqrt{21}\)
成分が与えられていないときの \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) の大きさは、
① \(|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|\) の2乗の値を、同じベクトルの内積として計算する。
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|^{2}
&=&(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})
\\[3pt]~~~&=&|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}+2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}
\end{eqnarray}\)
② 条件を代入し、\(|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|^2\) の値を求めて、平方根をとり、\(|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|\) を求める。
\(|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|^2=21\) より、\(|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|=\sqrt{21}\)
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詳しい解説｜内積とベクトルの和の大きさ
平面上のベクトル 33
\(|\overrightarrow{a}|=2~,~ |\overrightarrow{b}|=3~,~ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=4\) のとき、\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) の大きさの求め方は？
高校数学C｜平面上のベクトル
\(|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|\) を2乗すると、同じベクトルの内積となるので、
\(\begin{split}&|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~=~&(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})
\\[3pt]~~=~&\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}
\\[3pt]~~=~&|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}+2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}
\end{split}\)
ここで \(|\,\overrightarrow{a}\,|=2~,~|\,\overrightarrow{b}\,|=3~,~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=4\) を代入すると、
\(\begin{split}~~=~&2^{2}+2{\, \small \times \,}4+3^{2}
\\[3pt]~~=~&4+8+9
\\[3pt]~~=~&21
\end{split}\)
したがって、\(|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|{\small ~≧~}0\) より、両辺の平方根をとると、
\(|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|=\sqrt{21}\) となる
