このページは、「内積とベクトルの和の大きさ」の練習問題アーカイブページとなります。
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内積とベクトルの和の大きさ で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(|\,\overrightarrow{a}\,|=1~,~|\,\overrightarrow{b}\,|=2\) で、\(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) のなす角が \(120°\) であるとき、ベクトル \(2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}\) の大きさを求めよ。
数研出版｜数学Ｃ[708] p.28 練習21
内積 \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\) を求めると、
\(\begin{split}&\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}
\\[3pt]~~=~&|\,\overrightarrow{a}\,||\,\overrightarrow{b}\,|\cos 120°
\\[3pt]~~=~&1{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)
\\[3pt]~~=~&-1
\end{split}\)
\(|\,2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}\,|\) を2乗すると、同じベクトルの内積となるので、
\(\begin{split}&|\,2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~=~&(2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b})\cdot(2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b})
\\[3pt]~~=~&4\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}+6\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+6\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}+9\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}
\\[3pt]~~=~&4|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}+12\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+9|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}
\end{split}\)
ここで \(|\,\overrightarrow{a}\,|=1~,~|\,\overrightarrow{b}\,|=2~,~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=-1\) を代入すると、
\(\begin{split}~~=~&4{\, \small \times \,}1^{2}+12{\, \small \times \,}(-1)+9{\, \small \times \,}2^{2}
\\[3pt]~~=~&4-12+36
\\[3pt]~~=~&28
\end{split}\)
したがって、\(|\,2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}\,|{\small ~≧~}0\) より、両辺の平方根をとると、
\(|\,2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}\,|=\sqrt{28}=2\sqrt{7}\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(|\,\overrightarrow{a}\,|=3~,~|\,\overrightarrow{b}\,|=2~,~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=-3\) のとき、次の値を求めよ。
\({\small (1)}~|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|\)
\({\small (2)}~|\,\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\,|\)
\({\small (1)}~|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|\)
\({\small (2)}~|\,\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\,|\)
数研出版｜高等学校数学Ｃ[709] p.27 練習25
数研出版｜新編数学Ｃ[710] p.28 練習26
\({\small (1)}~\)\(|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|\) を2乗すると、同じベクトルの内積となるので、
\(\begin{split}&|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~=~&(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})
\\[3pt]~~=~&\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}
\\[3pt]~~=~&|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}+2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}
\end{split}\)
ここで \(|\,\overrightarrow{a}\,|=3~,~|\,\overrightarrow{b}\,|=2~,~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=-3\) を代入すると、
\(\begin{split}~~=~&3^{2}+2{\, \small \times \,}(-3)+2^{2}
\\[3pt]~~=~&9-6+4
\\[3pt]~~=~&7
\end{split}\)
したがって、\(|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|{\small ~≧~}0\) より、両辺の平方根をとると、
\(|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|=\sqrt{7}\) となる
\({\small (2)}~\)\(|\,\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\,|\) を2乗すると、同じベクトルの内積となるので、
\(\begin{split}&|\,\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~=~&(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b})
\\[3pt]~~=~&\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}
\\[3pt]~~=~&|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}-4\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+4|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}
\end{split}\)
ここで \(|\,\overrightarrow{a}\,|=3~,~|\,\overrightarrow{b}\,|=2~,~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=-3\) を代入すると、
\(\begin{split}~~=~&3^{2}-4{\, \small \times \,}(-3)+4{\, \small \times \,}2^{2}
\\[3pt]~~=~&9+12+16
\\[3pt]~~=~&37
\end{split}\)
したがって、\(|\,\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\,|{\small ~≧~}0\) より、両辺の平方根をとると、
\(|\,\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\,|=\sqrt{37}\) となる
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\(|\,\overrightarrow{a}\,|=1~,~|\,\overrightarrow{b}\,|=3~,~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=-1\) のとき、\(|\,3\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|\) の値を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ｃ[701] p.24 問36
\(|\,3\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|\) を2乗すると、同じベクトルの内積となるので、
\(\begin{split}&|\,3\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~=~&(3\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot(3\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})
\\[3pt]~~=~&9\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}
\\[3pt]~~=~&9|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}-6\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}
\end{split}\)
ここで \(|\,\overrightarrow{a}\,|=1~,~|\,\overrightarrow{b}\,|=3~,~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=-1\) を代入すると、
\(\begin{split}~~=~&9{\, \small \times \,}1^{2}-6{\, \small \times \,}(-1)+3^{2}
\\[3pt]~~=~&9+6+9
\\[3pt]~~=~&24
\end{split}\)
したがって、\(|\,3\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|{\small ~≧~}0\) より、両辺の平方根をとると、
\(|\,3\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|=\sqrt{24}=2\sqrt{6}\) となる
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04\(|\,\overrightarrow{a}\,|=1~,~|\,\overrightarrow{b}\,|=3~,~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=2\) のとき、次の値を求めよ。
\({\small (1)}~|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|\)
\({\small (2)}~|\,2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|\)
\({\small (1)}~|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|\)
\({\small (2)}~|\,2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|\)
東京書籍｜Standard数学Ｃ[702] p.31 問25
\({\small (1)}~\)\(|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|\) を2乗すると、同じベクトルの内積となるので、
\(\begin{split}&|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~=~&(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})
\\[3pt]~~=~&\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}
\\[3pt]~~=~&|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}+2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}
\end{split}\)
ここで \(|\,\overrightarrow{a}\,|=1~,~|\,\overrightarrow{b}\,|=3~,~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=2\) を代入すると、
\(\begin{split}~~=~&1^{2}+2{\, \small \times \,}2+3^{2}
\\[3pt]~~=~&1+4+9
\\[3pt]~~=~&14
\end{split}\)
したがって、\(|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|{\small ~≧~}0\) より、両辺の平方根をとると、
\(|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|=\sqrt{14}\) となる
\({\small (2)}~\)\(|\,2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|\) を2乗すると、同じベクトルの内積となるので、
\(\begin{split}&|\,2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~=~&(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})
\\[3pt]~~=~&4\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}
\\[3pt]~~=~&4|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}-4\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}
\end{split}\)
ここで \(|\,\overrightarrow{a}\,|=1~,~|\,\overrightarrow{b}\,|=3~,~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=2\) を代入すると、
\(\begin{split}~~=~&4{\, \small \times \,}1^{2}-4{\, \small \times \,}2+3^{2}
\\[3pt]~~=~&4-8+9
\\[3pt]~~=~&5
\end{split}\)
したがって、\(|\,2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|{\small ~≧~}0\) より、両辺の平方根をとると、
\(|\,2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|=\sqrt{5}\) となる
