- 数学C｜平面上のベクトル「ベクトルの式の垂直条件と内積」の基本例題解説ページです。
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問題｜ベクトルの式の垂直条件と内積
平面上のベクトル 34\(|\overrightarrow{a}|=2~,~ |\overrightarrow{b}|=3\) で \(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\) と \(6\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) が垂直のとき、内積 \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}\) と \(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) のなす角 \(\theta\) の求め方は？
高校数学C｜平面上のベクトル
解法のPoint
ベクトルの式の垂直条件と内積
Point：ベクトルの式の垂直条件と内積
① 垂直である2つのベクトルの式の内積が \(0\) となる式を立てる。
\(\begin{eqnarray}~~~(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot(6\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})&=&0\end{eqnarray}\)
② 内積の性質を用いて計算し、\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\) の値を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~6|\overrightarrow{a}|^{2}-5\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-|\overrightarrow{b}|^{2}&=&0\end{eqnarray}\)
\(|\overrightarrow{a}|=2~,~|\overrightarrow{b}|=3\) より、\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=3\)
③ 内積の定義の式より \(\cos\theta\) を求め、なす角 \(\theta\) を求める。
\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta\) より、
\(\cos\theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~\Leftrightarrow ~\theta=60^\circ ~ ~(\,0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\,)\)
2つのベクトルの式が垂直のときの \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\) の値は、
① 垂直である2つのベクトルの式の内積が \(0\) となる式を立てる。
\(\begin{eqnarray}~~~(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot(6\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})&=&0\end{eqnarray}\)
② 内積の性質を用いて計算し、\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\) の値を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~6|\overrightarrow{a}|^{2}-5\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-|\overrightarrow{b}|^{2}&=&0\end{eqnarray}\)
\(|\overrightarrow{a}|=2~,~|\overrightarrow{b}|=3\) より、\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=3\)
③ 内積の定義の式より \(\cos\theta\) を求め、なす角 \(\theta\) を求める。
\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta\) より、
\(\cos\theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~\Leftrightarrow ~\theta=60^\circ ~ ~(\,0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\,)\)
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詳しい解説｜ベクトルの式の垂直条件と内積
平面上のベクトル 34
\(|\overrightarrow{a}|=2~,~ |\overrightarrow{b}|=3\) で \(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\) と \(6\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) が垂直のとき、内積 \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}\) と \(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) のなす角 \(\theta\) の求め方は？
高校数学C｜平面上のベクトル
\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\) と \(6\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) が垂直より、この2つのベクトルの式の内積が \(0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot(6\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})&=&0
\\[3pt]~~~6\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-6\,\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}&=&0
\\[3pt]~~~6| \overrightarrow{a} |^{2}-5\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-| \overrightarrow{b} |^{2}&=&0
\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~6\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-6\,\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}&=&0
\\[3pt]~~~6| \overrightarrow{a} |^{2}-5\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-| \overrightarrow{b} |^{2}&=&0
\end{eqnarray}\)
\(|\overrightarrow{a}|=2~,~ |\overrightarrow{b}|=3\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{20pt}~~~6\cdot 2^{2}-5\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-3^{2}&=&0
\\[3pt]~~~24-5\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-9&=&0
\\[3pt]~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&3
\end{eqnarray}\)
次に、内積の定義の式より、\(|\overrightarrow{a}|=2~,~ |\overrightarrow{b}|=3~,~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=3\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta
\\[3pt]~~~3&=&2{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}\cos\theta
\\[3pt]~~~6\cos\theta&=&3
\\[3pt]~~~\cos\theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
したがって、
\(0^\circ{\small ~≦~}\theta {\small ~≦~}180^\circ\) より \(\theta=60^\circ\) となる
