このページは、「ベクトルの式の垂直条件と内積」の練習問題アーカイブページとなります。
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ベクトルの式の垂直条件と内積 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(|\overrightarrow{a}|=2~,~ |\overrightarrow{b}|=2\) で、\(3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\) と \(\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{b}\) が垂直であるとする。このとき、\(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) のなす角 \(\theta\) を求めよ。
数研出版｜高等学校数学Ｃ[709] p.27 練習26
\(3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\) と \(\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{b}\) が垂直より、この2つのベクトルの式の内積が \(0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~(3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{b})&=&0
\\[3pt]~~~3\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}+12\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-2\,\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}-8\,\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}&=&0
\\[3pt]~~~3| \overrightarrow{a} |^{2}+10\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-8| \overrightarrow{b} |^{2}&=&0
\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~3\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}+12\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-2\,\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}-8\,\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}&=&0
\\[3pt]~~~3| \overrightarrow{a} |^{2}+10\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-8| \overrightarrow{b} |^{2}&=&0
\end{eqnarray}\)
\(|\overrightarrow{a}|=2~,~ |\overrightarrow{b}|=2\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{20pt}~~~3\cdot 2^{2}+10\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-8\cdot 2^{2}&=&0
\\[3pt]~12+10\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-32&=&0
\\[3pt]~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&2
\end{eqnarray}\)
次に、内積の定義の式より、\(|\overrightarrow{a}|=2~,~ |\overrightarrow{b}|=2~,~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=2\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta
\\[3pt]~~~2&=&2{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}\cos\theta
\\[3pt]~~~4\cos\theta&=&2
\\[3pt]~~~\cos\theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
したがって、
\(0^\circ{\small ~≦~}\theta {\small ~≦~}180^\circ\) より \(\theta=60^\circ\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(|\overrightarrow{a}|=2~,~ |\overrightarrow{b}|=1\) で、ベクトル \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)，\(2\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b}\) が垂直であるとする。
\({\small (1)}~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\) を求めよ。
\({\small (2)}~\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) のなす角 \(\theta\) を求めよ。
\({\small (1)}~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\) を求めよ。
\({\small (2)}~\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) のなす角 \(\theta\) を求めよ。
数研出版｜新編数学Ｃ[710] p.48 章末問題A 3
\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) と \(2\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b}\) が垂直より、この2つのベクトルの式の内積が \(0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot(2\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b})&=&0
\\[3pt]~~~2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}-5\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+2\,\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}-5\,\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}&=&0
\\[3pt]~~~2| \overrightarrow{a} |^{2}-3\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-5| \overrightarrow{b} |^{2}&=&0
\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}-5\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+2\,\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}-5\,\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}&=&0
\\[3pt]~~~2| \overrightarrow{a} |^{2}-3\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-5| \overrightarrow{b} |^{2}&=&0
\end{eqnarray}\)
\(|\overrightarrow{a}|=2~,~ |\overrightarrow{b}|=1\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{20pt}~~~2\cdot 2^{2}-3\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-5\cdot 1^{2}&=&0
\\[3pt]~8-3\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-5&=&0
\\[3pt]~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&1
\end{eqnarray}\)
次に、内積の定義の式より、\(|\overrightarrow{a}|=2~,~ |\overrightarrow{b}|=1~,~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=1\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta
\\[3pt]~~~1&=&2{\, \small \times \,}1{\, \small \times \,}\cos\theta
\\[3pt]~~~2\cos\theta&=&1
\\[3pt]~~~\cos\theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
したがって、
\(0^\circ{\small ~≦~}\theta {\small ~≦~}180^\circ\) より \(\theta=60^\circ\) となる
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{2}~,~ |\overrightarrow{b}|=3\) で、\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\) と \(6\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\) が垂直であるとき、\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\) のなす角 \(\theta\) を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ｃ[701] p.24 問37
\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\) と \(6\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\) が垂直より、この2つのベクトルの式の内積が \(0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot(6\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})&=&0
\\[3pt]~~~6\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-6\,\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}&=&0
\\[3pt]~~~6| \overrightarrow{a} |^{2}-7\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+| \overrightarrow{b} |^{2}&=&0
\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~6\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-6\,\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}&=&0
\\[3pt]~~~6| \overrightarrow{a} |^{2}-7\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+| \overrightarrow{b} |^{2}&=&0
\end{eqnarray}\)
\(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{2}~,~ |\overrightarrow{b}|=3\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{20pt}~~~6\cdot (\sqrt{2})^{2}-7\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+3^{2}&=&0
\\[3pt]~12-7\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+9&=&0
\\[3pt]~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&3
\end{eqnarray}\)
次に、内積の定義の式より、\(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{2}~,~ |\overrightarrow{b}|=3~,~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=3\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta
\\[3pt]~~~3&=&\sqrt{2}{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}\cos\theta
\\[3pt]~~~3\sqrt{2}\cos\theta&=&3
\\[3pt]~~~\cos\theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}=\frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
したがって、
\(0^\circ{\small ~≦~}\theta {\small ~≦~}180^\circ\) より \(\theta=45^\circ\) となる
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04\(|\overrightarrow{a}|=2~,~ |\overrightarrow{b}|=1\) で、\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\) と \(2\overrightarrow{a}+5\overrightarrow{b}\) が垂直であるとき、\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\) のなす角 \(\theta\) を求めよ。
東京書籍｜Standard数学Ｃ[702] p.68 Level Up 2
\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\) と \(2\overrightarrow{a}+5\overrightarrow{b}\) が垂直より、この2つのベクトルの式の内積が \(0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot(2\overrightarrow{a}+5\overrightarrow{b})&=&0
\\[3pt]~~~2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}+5\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-2\,\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}-5\,\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}&=&0
\\[3pt]~~~2| \overrightarrow{a} |^{2}+3\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-5| \overrightarrow{b} |^{2}&=&0
\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}+5\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-2\,\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}-5\,\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}&=&0
\\[3pt]~~~2| \overrightarrow{a} |^{2}+3\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-5| \overrightarrow{b} |^{2}&=&0
\end{eqnarray}\)
\(|\overrightarrow{a}|=2~,~ |\overrightarrow{b}|=1\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{20pt}~~~2\cdot 2^{2}+3\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-5\cdot 1^{2}&=&0
\\[3pt]~8+3\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-5&=&0
\\[3pt]~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&-1
\end{eqnarray}\)
次に、内積の定義の式より、\(|\overrightarrow{a}|=2~,~ |\overrightarrow{b}|=1~,~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=-1\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta
\\[3pt]~~~-1&=&2{\, \small \times \,}1{\, \small \times \,}\cos\theta
\\[3pt]~~~2\cos\theta&=&-1
\\[3pt]~~~\cos\theta&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
したがって、
\(0^\circ{\small ~≦~}\theta {\small ~≦~}180^\circ\) より \(\theta=120^\circ\) となる
