- 数学C｜平面上のベクトル「大きさの条件と内積となす角」の基本例題解説ページです。
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問題｜大きさの条件と内積となす角
平面上のベクトル 35\(|\overrightarrow{a}|=2~,~ |\overrightarrow{b}|=3~,~ |\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{19}\) のとき、内積 \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}\) と \(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) のなす角 \(\theta\) の求め方は？
高校数学C｜平面上のベクトル
解法のPoint
大きさの条件と内積となす角
Point：大きさの条件と内積となす角
① ベクトルの大きさの条件式の両辺を2乗する。
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|^{2}&=&\left(\sqrt{19}\right)^{2}
\\[3pt]~~~(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})&=&19
\end{eqnarray}\)
② 内積の性質を用いて計算し、\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\) の値を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~|\overrightarrow{a}|^{2}-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^{2}&=&19\end{eqnarray}\)
\(|\overrightarrow{a}|=2~,~|\overrightarrow{b}|=3\) より、\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=-3\)
③ 内積の定義の式より \(\cos\theta\) を求め、なす角 \(\theta\) を求める。
\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta\) より、
\(\cos\theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\(~\Leftrightarrow ~\theta=120^\circ ~ ~(\,0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\,)\)
ベクトルの式の大きさが条件のときの内積 \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}\) の値は、
① ベクトルの大きさの条件式の両辺を2乗する。
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|^{2}&=&\left(\sqrt{19}\right)^{2}
\\[3pt]~~~(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})&=&19
\end{eqnarray}\)
② 内積の性質を用いて計算し、\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\) の値を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~|\overrightarrow{a}|^{2}-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^{2}&=&19\end{eqnarray}\)
\(|\overrightarrow{a}|=2~,~|\overrightarrow{b}|=3\) より、\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=-3\)
③ 内積の定義の式より \(\cos\theta\) を求め、なす角 \(\theta\) を求める。
\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta\) より、
\(\cos\theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\(~\Leftrightarrow ~\theta=120^\circ ~ ~(\,0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\,)\)
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詳しい解説｜大きさの条件と内積となす角
平面上のベクトル 35
\(|\overrightarrow{a}|=2~,~ |\overrightarrow{b}|=3~,~ |\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{19}\) のとき、内積 \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}\) と \(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) のなす角 \(\theta\) の求め方は？
高校数学C｜平面上のベクトル
\(|\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|=\sqrt{19}\) の両辺を2乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|^{2}&=&\left(\sqrt{19}\right)^{2}
\\[3pt]~~~(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})&=&19
\\[3pt]~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}&=&19
\\[3pt]~~~|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}&=&19
\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})&=&19
\\[3pt]~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}&=&19
\\[3pt]~~~|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}&=&19
\end{eqnarray}\)
\(|\,\overrightarrow{a}\,|=2\,,\ |\,\overrightarrow{b}\,|=3\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{10pt}~~~2^{2}-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+3^{2}&=&19
\\[3pt]~~~4-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+9&=&19
\\[3pt]~~~-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&19-13
\\[3pt]~~~-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&6
\\[3pt]~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&-3
\end{eqnarray}\)
次に、\(|\overrightarrow{a}|=2~,~ |\overrightarrow{b}|=3~,~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=-3\) より、内積の定義の式を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta
\\[3pt]~~~-3&=&2{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}\cos\theta
\\[3pt]~~~6\cos\theta&=&-3
\\[3pt]~~~\cos\theta&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
したがって、
\(0^\circ{\small ~≦~}\theta {\small ~≦~}180^\circ\) より \(\theta=120^\circ\) となる
