このページは、「大きさの条件と内積となす角」の練習問題アーカイブページとなります。
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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01ベクトル \(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\) について，\(|\overrightarrow{a}|=1\)，\(|\overrightarrow{b}|=\sqrt{3}\)，\(|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{7}\) とする。
内積 \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\) を求めよ。また，\(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) のなす角 \(\theta\) を求めよ。
内積 \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\) を求めよ。また，\(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) のなす角 \(\theta\) を求めよ。
数研出版｜数学Ｃ[708] p.28 練習22
\(|\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|=\sqrt{7}\) の両辺を2乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|^{2}&=&\left(\sqrt{7}\right)^{2}
\\[3pt]~~~(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})&=&7
\\[3pt]~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}&=&7
\\[3pt]~~~|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}&=&7
\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})&=&7
\\[3pt]~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}&=&7
\\[3pt]~~~|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}&=&7
\end{eqnarray}\)
\(|\,\overrightarrow{a}\,|=1\,,\ |\,\overrightarrow{b}\,|=\sqrt{3}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{10pt}~1^{2}-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}&=&7
\\[3pt]~1-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+3&=&7
\\[3pt]~-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&7-4
\\[3pt]~-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&3
\\[3pt]~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
次に、\(|\overrightarrow{a}|=1~,~ |\overrightarrow{b}|=\sqrt{3}~,~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\) より、内積の定義の式を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta
\\[3pt]~~~-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}&=&1{\, \small \times \,}\sqrt{3}{\, \small \times \,}\cos\theta
\\[3pt]~~~\sqrt{3}\cos\theta&=&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}
\\[3pt]~~~\cos\theta&=&-\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
したがって、
\(0^\circ{\small ~≦~}\theta {\small ~≦~}180^\circ\) より \(\theta=150^\circ\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(|\,\overrightarrow{a}\,|=1\,,\ |\,\overrightarrow{b}\,|=\sqrt{3}\,,\ |\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|=\sqrt{7}\) のとき、次のものを求めよ。
\({\small (1)}~\) 内積 \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\)
\({\small (2)}~\) \(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) のなす角 \(\theta\)
\({\small (1)}~\) 内積 \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\)
\({\small (2)}~\) \(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) のなす角 \(\theta\)
数研出版｜新編数学Ｃ[710] p.30 補充問題 3
\({\small (1)}~\)\(|\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|=\sqrt{7}\) の両辺を2乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|^{2}&=&\left(\sqrt{7}\right)^{2}
\\[3pt]~~~(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})&=&7
\\[3pt]~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}&=&7
\\[3pt]~~~|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}&=&7
\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})&=&7
\\[3pt]~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}&=&7
\\[3pt]~~~|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}&=&7
\end{eqnarray}\)
\(|\,\overrightarrow{a}\,|=1\,,\ |\,\overrightarrow{b}\,|=\sqrt{3}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{10pt}~1^{2}-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}&=&7
\\[3pt]~1-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+3&=&7
\\[3pt]~-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&7-4
\\[3pt]~-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&3
\\[3pt]~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)\(|\overrightarrow{a}|=1~,~ |\overrightarrow{b}|=\sqrt{3}~,~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\) より、内積の定義の式を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta
\\[3pt]~~~-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}&=&1{\, \small \times \,}\sqrt{3}{\, \small \times \,}\cos\theta
\\[3pt]~~~\sqrt{3}\cos\theta&=&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}
\\[3pt]~~~\cos\theta&=&-\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
したがって、
\(0^\circ{\small ~≦~}\theta {\small ~≦~}180^\circ\) より \(\theta=150^\circ\) となる
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03ベクトル \(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\) のなす角 \(\theta\) を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(|\,\overrightarrow{a}\,|=3\,,\ |\,\overrightarrow{b}\,|=4\,,\ \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=6\)
\({\small (2)}~\)\(|\,\overrightarrow{a}\,|=\sqrt{2}\,,\ |\,\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\,|=\sqrt{10}\,,\ \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=2\)
\({\small (1)}~\)\(|\,\overrightarrow{a}\,|=3\,,\ |\,\overrightarrow{b}\,|=4\,,\ \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=6\)
\({\small (2)}~\)\(|\,\overrightarrow{a}\,|=\sqrt{2}\,,\ |\,\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\,|=\sqrt{10}\,,\ \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=2\)
東京書籍｜Advanced数学Ｃ[701] p.25 問題 5
\({\small (1)}~\)\(|\overrightarrow{a}|=3~,~ |\overrightarrow{b}|=4~,~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=6\) より、内積の定義の式を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta
\\[3pt]~~~6&=&3{\, \small \times \,}4{\, \small \times \,}\cos\theta
\\[3pt]~~~12\cos\theta&=&6
\\[3pt]~~~\cos\theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
したがって、
\(0^\circ{\small ~≦~}\theta {\small ~≦~}180^\circ\) より \(\theta=60^\circ\) となる
\({\small (2)}~\)\(|\,\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\,|=\sqrt{10}\) の両辺を2乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\,|^{2}&=&\left(\sqrt{10}\right)^{2}
\\[3pt]~~~(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b})&=&10
\\[3pt]~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{a}\cdot(2\overrightarrow{b})+2\overrightarrow{b}\cdot 2\overrightarrow{b}&=&10
\\[3pt]~~~|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}-4\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+4|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}&=&10
\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b})&=&10
\\[3pt]~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{a}\cdot(2\overrightarrow{b})+2\overrightarrow{b}\cdot 2\overrightarrow{b}&=&10
\\[3pt]~~~|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}-4\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+4|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}&=&10
\end{eqnarray}\)
\(|\,\overrightarrow{a}\,|=\sqrt{2}\,,\ \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=2\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{10pt}~\left(\sqrt{2}\right)^{2}-4{\, \small \times \,}2+4|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}&=&10
\\[3pt]~2-8+4|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}&=&10
\\[3pt]~4|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}&=&16
\\[3pt]~~~|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}&=&4
\\[3pt]~~~|\,\overrightarrow{b}\,|&=&2
\end{eqnarray}\)
\(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{2}~,~ |\overrightarrow{b}|=2~,~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=2\) より、内積の定義の式を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta
\\[3pt]~~~2&=&\sqrt{2}{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}\cos\theta
\\[3pt]~~~2\sqrt{2}\cos\theta&=&2
\\[3pt]~~~\cos\theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
したがって、
\(0^\circ{\small ~≦~}\theta {\small ~≦~}180^\circ\) より \(\theta=45^\circ\) となる
