- 数学C｜平面上のベクトル「大きさの条件とベクトルの垂直」の基本例題解説ページです。
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問題｜大きさの条件とベクトルの垂直
平面上のベクトル 36\(|\overrightarrow{a}|=2~,~ |\overrightarrow{b}|=3~,~ |\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{19}\) のとき、\(\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\) と \(\overrightarrow{b}\) が垂直となるような実数 \(t\) の値の求め方は？
高校数学C｜平面上のベクトル
解法のPoint
大きさの条件とベクトルの垂直
Point：大きさの条件とベクトルの垂直
① 大きさ条件式の両辺を2乗して、内積 \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\) の値を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|^{2}&=&\left(\sqrt{19}\right)^{2}
\\[3pt]~~~(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})&=&19
\\[3pt]~~~~~|\overrightarrow{a}|^{2}-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^{2}&=&19
\end{eqnarray}\)
\(|\overrightarrow{a}|=2~,~|\overrightarrow{b}|=3\) より、\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=-3\)
② 2つのベクトルの式が垂直より、内積が0の式を立て、\(t\) の値を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~(\overrightarrow{a}+t\,\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{b}&=&0
\\[3pt]~~~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+t\,|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}&=&0
\end{eqnarray}\)
\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=-3~,~|\,\overrightarrow{b}\,|=3\) より、\(t=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\)
2つのベクトル \(\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\) と \(\overrightarrow{b}\) が垂直であるとき、実数 \(t\) の値は、
① 大きさ条件式の両辺を2乗して、内積 \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\) の値を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|^{2}&=&\left(\sqrt{19}\right)^{2}
\\[3pt]~~~(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})&=&19
\\[3pt]~~~~~|\overrightarrow{a}|^{2}-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^{2}&=&19
\end{eqnarray}\)
\(|\overrightarrow{a}|=2~,~|\overrightarrow{b}|=3\) より、\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=-3\)
② 2つのベクトルの式が垂直より、内積が0の式を立て、\(t\) の値を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~(\overrightarrow{a}+t\,\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{b}&=&0
\\[3pt]~~~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+t\,|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}&=&0
\end{eqnarray}\)
\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=-3~,~|\,\overrightarrow{b}\,|=3\) より、\(t=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\)
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詳しい解説｜大きさの条件とベクトルの垂直
平面上のベクトル 36
\(|\overrightarrow{a}|=2~,~ |\overrightarrow{b}|=3~,~ |\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{19}\) のとき、\(\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\) と \(\overrightarrow{b}\) が垂直となるような実数 \(t\) の値の求め方は？
高校数学C｜平面上のベクトル
\(|\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|=\sqrt{19}\) の両辺を2乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|^{2}&=&\left(\sqrt{19}\right)^{2}
\\[3pt]~~~(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})&=&19
\\[3pt]~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}&=&19
\\[3pt]~~~|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}&=&19
\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})&=&19
\\[3pt]~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}&=&19
\\[3pt]~~~|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}&=&19
\end{eqnarray}\)
\(|\,\overrightarrow{a}\,|=2\,,\ |\,\overrightarrow{b}\,|=3\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{10pt}~~~2^{2}-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+3^{2}&=&19
\\[3pt]~~~4-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+9&=&19
\\[3pt]~~~-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&19-13
\\[3pt]~~~-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&6
\\[3pt]~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&-3
\end{eqnarray}\)
ここで、\(\overrightarrow{a}+t\,\overrightarrow{b}\) と \(\overrightarrow{b}\) が垂直より、内積が \(0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~(\overrightarrow{a}+t\,\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{b}&=&0
\\[3pt]~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+t\,\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}&=&0
\\[3pt]~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+t\,|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}&=&0
\end{eqnarray}\)
\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=-3~,~|\,\overrightarrow{b}\,|=3\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~-3+t{\, \small \times \,}3^2&=&0
\\[3pt]~~~9t&=&3
\\[3pt]~~~t&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
したがって、\(t=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) となる
