このページは、「大きさの条件とベクトルの垂直」の練習問題アーカイブページとなります。
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大きさの条件とベクトルの垂直 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01ベクトル \(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\) について，\(|\overrightarrow{a}|=5~,~|\overrightarrow{b}|=3~,~|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|=9\) とする。
\({\small (1)}~\) \(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\) のなす角を \(\theta\) とするとき，\(\cos\theta\) の値を求めよ。
\({\small (2)}~\) \(\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\) と \(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\) が垂直になるように，実数 \(t\) の値を定めよ。
\({\small (1)}~\) \(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\) のなす角を \(\theta\) とするとき，\(\cos\theta\) の値を求めよ。
\({\small (2)}~\) \(\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\) と \(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\) が垂直になるように，実数 \(t\) の値を定めよ。
数研出版｜数学Ｃ[708] p.30 問題 5
\({\small (1)}~\)\(|\,\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\,|=9\) の両辺を2乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\,|^{2}&=&9^{2}
\\[3pt]~~~(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b})&=&81
\\[3pt]~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}&=&81
\\[3pt]~~~|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}-4\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+4|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}&=&81
\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b})&=&81
\\[3pt]~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}&=&81
\\[3pt]~~~|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}-4\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+4|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}&=&81
\end{eqnarray}\)
\(|\,\overrightarrow{a}\,|=5\,,\ |\,\overrightarrow{b}\,|=3\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{10pt}~~~5^{2}-4\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+4{\,\small \times \,}3^{2}&=&81
\\[3pt]~25-4\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+36&=&81
\\[3pt]~-4\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&81-61
\\[3pt]~-4\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&20
\\[3pt]~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&-5
\end{eqnarray}\)
ここで、\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\,\overrightarrow{a}\,||\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos\theta&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\,}{\,|\,\overrightarrow{a}\,||\,\overrightarrow{b}\,|\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-5\,}{\,5{\,\small \times \,}3\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
したがって、\(\cos\theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) となる
\({\small (2)}~\)\(\overrightarrow{a}+t\,\overrightarrow{b}\) と \(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\) が垂直より、内積が \(0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~(\overrightarrow{a}+t\,\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})&=&0
\\[3pt]~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+t\,\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}-t\,\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}&=&0
\\[3pt]~~~|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}+(t-1)\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-t\,|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}&=&0
\end{eqnarray}\)
\(|\,\overrightarrow{a}\,|=5~,~|\,\overrightarrow{b}\,|=3~,~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=-5\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~5^{2}+(t-1){\,\small \times \,}(-5)-t{\,\small \times \,}3^2&=&0
\\[3pt]~~~25-5t+5-9t&=&0
\\[3pt]~~~30-14t&=&0
\\[3pt]~~~14t&=&30
\\[3pt]~~~t&=&\displaystyle \frac{\,30\,}{\,14\,}
\\[5pt]~~~t&=&\displaystyle \frac{\,15\,}{\,7\,}
\end{eqnarray}\)
したがって、\(t=\displaystyle \frac{\,15\,}{\,7\,}\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(|\overrightarrow{a}|=1~,~|\overrightarrow{b}|=\sqrt{3}~,~|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{7}\) のとき、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\) \(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) のなす角 \(\theta\) を求めよ。
\({\small (2)}~\) \(\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\) と \(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\) が垂直になるように，実数 \(t\) の値を定めよ。
\({\small (1)}~\) \(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) のなす角 \(\theta\) を求めよ。
\({\small (2)}~\) \(\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\) と \(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\) が垂直になるように，実数 \(t\) の値を定めよ。
数研出版｜高等学校数学Ｃ[709] p.30 問題 4
\({\small (1)}~\)\(|\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|=\sqrt{7}\) の両辺を2乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|^{2}&=&\left(\sqrt{7}\right)^{2}
\\[3pt]~~~(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})&=&7
\\[3pt]~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}&=&7
\\[3pt]~~~|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}&=&7
\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})&=&7
\\[3pt]~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}&=&7
\\[3pt]~~~|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}&=&7
\end{eqnarray}\)
\(|\,\overrightarrow{a}\,|=1\,,\ |\,\overrightarrow{b}\,|=\sqrt{3}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{10pt}~1^{2}-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}&=&7
\\[3pt]~1-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+3&=&7
\\[3pt]~-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&7-4
\\[3pt]~-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&3
\\[3pt]~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
ここで、\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\,\overrightarrow{a}\,||\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos\theta&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\,}{\,|\,\overrightarrow{a}\,||\,\overrightarrow{b}\,|\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\,}{\,1{\,\small \times \,}\sqrt{3}\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\sqrt{3}\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
\(0°{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180°\) より、\(\theta=150°\) となる
\({\small (2)}~\)\(\overrightarrow{a}+t\,\overrightarrow{b}\) と \(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\) が垂直より、内積が \(0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~(\overrightarrow{a}+t\,\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})&=&0
\\[3pt]~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+t\,\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}-t\,\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}&=&0
\\[3pt]~~~|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}+(t-1)\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-t\,|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}&=&0
\end{eqnarray}\)
\(|\,\overrightarrow{a}\,|=1~,~|\,\overrightarrow{b}\,|=\sqrt{3}~,~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~1^{2}+(t-1){\,\small \times \,}\left(-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\right)-t{\,\small \times \,}\left(\sqrt{3}\right)^2&=&0
\\[5pt]~~~1-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}t+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}-3t&=&0
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}t&=&0
\\[5pt]~~~5-9t&=&0
\\[3pt]~~~9t&=&5
\\[3pt]~~~t&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,9\,}
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~1-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}t+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}-3t&=&0
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}t&=&0
\\[5pt]~~~5-9t&=&0
\\[3pt]~~~9t&=&5
\\[3pt]~~~t&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,9\,}
\end{eqnarray}\)
したがって、\(t=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,9\,}\) となる
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\(|\overrightarrow{a}|=2~,~|\overrightarrow{b}|=3~,~|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{17}\) のとき、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\) \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\) の値を求めよ。
\({\small (2)}~\) \(|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|\) の値を求めよ。
\({\small (3)}~\) \(\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\) と \(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\) が垂直になるような実数 \(t\) の値を求めよ。
\({\small (1)}~\) \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\) の値を求めよ。
\({\small (2)}~\) \(|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|\) の値を求めよ。
\({\small (3)}~\) \(\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\) と \(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\) が垂直になるような実数 \(t\) の値を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ｃ[701] p.25 問題 6
\({\small (1)}~\)\(|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|=\sqrt{17}\) の両辺を2乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|^{2}&=&\left(\sqrt{17}\right)^{2}
\\[3pt]~~~(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})&=&17
\\[3pt]~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}&=&17
\\[3pt]~~~|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}+2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}&=&17
\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})&=&17
\\[3pt]~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}&=&17
\\[3pt]~~~|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}+2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}&=&17
\end{eqnarray}\)
\(|\,\overrightarrow{a}\,|=2\,,\ |\,\overrightarrow{b}\,|=3\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{10pt}~2^{2}+2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+3^{2}&=&17
\\[3pt]~4+2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+9&=&17
\\[3pt]~2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&17-13
\\[3pt]~2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&4
\\[3pt]~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&2
\end{eqnarray}\)
したがって、\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=2\) となる
\({\small (2)}~\)\(|\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|^{2}\) を計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|^{2}&=&|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}
\end{eqnarray}\)
\(|\,\overrightarrow{a}\,|=2\,,\ |\,\overrightarrow{b}\,|=3\,,\ \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=2\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{10pt}~|\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|^{2}&=&2^{2}-2{\,\small \times \,}2+3^{2}
\\[3pt]~~~&=&4-4+9
\\[3pt]~~~&=&9
\end{eqnarray}\)
\(|\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|{\small ~≧~}0\) より、\(|\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|=3\) となる
\({\small (3)}~\)\(\overrightarrow{a}+t\,\overrightarrow{b}\) と \(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\) が垂直より、内積が \(0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~(\overrightarrow{a}+t\,\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})&=&0
\\[3pt]~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+t\,\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}-t\,\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}&=&0
\\[3pt]~~~|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}+(t-1)\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-t\,|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}&=&0
\end{eqnarray}\)
\(|\,\overrightarrow{a}\,|=2~,~|\,\overrightarrow{b}\,|=3~,~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=2\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~2^{2}+(t-1){\,\small \times \,}2-t{\,\small \times \,}3^2&=&0
\\[3pt]~~~4+2t-2-9t&=&0
\\[3pt]~~~2-7t&=&0
\\[3pt]~~~7t&=&2
\\[3pt]~~~t&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,7\,}
\end{eqnarray}\)
したがって、\(t=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,7\,}\) となる
