このページは、「ベクトルの等式の証明」の練習問題アーカイブページとなります。
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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01次の等式を証明せよ。
\({\small (1)}~\) \(|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|^2+|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|^2=2(|\overrightarrow{a}|^2+|\overrightarrow{b}|^2)\)
\({\small (2)}~\) \(|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|^2-|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|^2=4\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\)
\({\small (1)}~\) \(|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|^2+|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|^2=2(|\overrightarrow{a}|^2+|\overrightarrow{b}|^2)\)
\({\small (2)}~\) \(|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|^2-|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|^2=4\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\)
数研出版｜数学Ｃ[708] p.30 問題 4
\({\small (1)}~\)[証明] 左辺をそれぞれ展開すると、
\(\begin{split}&|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~=~&(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})
\\[3pt]~~=~&\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}
\\[3pt]~~=~&|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}+2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}
\end{split}\)
同様に、
\(\begin{split}&|\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~=~&(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})
\\[3pt]~~=~&\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}
\\[3pt]~~=~&|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}-2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}
\end{split}\)
よって、左辺はこれら2つを加えて、
\(\begin{split}&|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|^{2}+|\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~=~&|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}+2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~~&\hspace{10pt}+|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~=~&2|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}+2|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~=~&2(|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2})
\end{split}\)
したがって、
\(|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|^2+|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|^2=2(|\overrightarrow{a}|^2+|\overrightarrow{b}|^2)\)
[終]
\({\small (2)}~\)[証明] 左辺をそれぞれ展開すると、
\(\begin{split}&|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~=~&(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})
\\[3pt]~~=~&\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}
\\[3pt]~~=~&|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}+2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}
\end{split}\)
同様に、
\(\begin{split}&|\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~=~&(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})
\\[3pt]~~=~&\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}
\\[3pt]~~=~&|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}-2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}
\end{split}\)
よって、左辺はこれら2つを引いて、
\(\begin{split}&|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|^{2}-|\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~=~&(|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}+2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2})
\\[3pt]~~~&\hspace{10pt}-(|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2})
\\[3pt]~~=~&|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}+2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~~&\hspace{10pt}-|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}+2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~=~&4\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}
\end{split}\)
したがって、
\(|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|^2-|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|^2=4\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\)
[終]
問題アーカイブ02
問題アーカイブ022つのベクトル \(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\) について，次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\) 次が成り立つことを示せ。
\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0~~\Leftrightarrow~~|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|\)
\({\small (2)}~\) 平行四辺形 \({\rm OACB}\)において，\(\overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{b}\) とする。\({\small (1)}\) で示した同値関係から，平行四辺形 \({\rm OACB}\)が長方形となるための必要十分条件を求めよ。
\({\small (1)}~\) 次が成り立つことを示せ。
\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0~~\Leftrightarrow~~|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|\)
\({\small (2)}~\) 平行四辺形 \({\rm OACB}\)において，\(\overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{b}\) とする。\({\small (1)}\) で示した同値関係から，平行四辺形 \({\rm OACB}\)が長方形となるための必要十分条件を求めよ。
数研出版｜高等学校数学Ｃ[709] p.30 問題 6
\({\small (1)}~\)[証明] \(|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|\) と \(|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|\) をそれぞれ2乗すると、
\(\begin{split}&|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~=~&(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})
\\[3pt]~~=~&|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}+2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}
\end{split}\)
\(\begin{split}&|\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~=~&(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})
\\[3pt]~~=~&|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}-2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}
\end{split}\)
よって、
\(\begin{split}&|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|=|\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|
\\[3pt]~~\Leftrightarrow~&|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}+2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}=|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}-2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~\Leftrightarrow~&4\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0
\\[3pt]~~\Leftrightarrow~&\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0
\end{split}\)
\\[3pt]~~\Leftrightarrow~&|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}+2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}=|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}-2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~\Leftrightarrow~&4\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0
\\[3pt]~~\Leftrightarrow~&\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0
\end{split}\)
したがって、
\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0~~\Leftrightarrow~~|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|\)
[終]
\({\small (2)}~\)平行四辺形 \({\rm OACB}\) の対角線は、\({\rm OC}\) と \({\rm AB}\) である。
\(\overrightarrow{\rm OC}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) より \(|\overrightarrow{\rm OC}|=|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|\)
\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\) より \(|\overrightarrow{\rm AB}|=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|\)
平行四辺形が長方形となるための必要十分条件は、対角線の長さが等しいことであるから、
\(|\overrightarrow{\rm OC}|=|\overrightarrow{\rm AB}|\)
\(|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|\)
\({\small (1)}~\)より、
\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0\)
