- 数学C｜平面上のベクトル「ベクトルの不等式の証明」の基本例題解説ページです。
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問題｜ベクトルの不等式の証明
平面上のベクトル 38不等式 \(|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|{\small ~≦~}|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|\) の証明方法は？
高校数学C｜平面上のベクトル
解法のPoint
ベクトルの不等式の証明
Point：ベクトルの不等式の証明
① 大きい方の式の2乗ー小さい方の式の2乗を内積の性質を用いて計算する。
② 内積と大きさの大小関係の式より、①の式が \(0\) 以上であることを示す。
\(-1{\small ~≦~}\cos\theta {\small ~≦~}1\) より、
\(\,-|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|
{\small ~≦~}|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta
{\small ~≦~}|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,| \)
\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta\) より、
③ 2乗を外した不等式(平方根をとった不等式)も成り立つことを示す。
\(A{\small ~≧~}0~,~B{\small ~≧~}0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~A^2 {\small ~≦~}B^2 ~\Leftrightarrow ~ A {\small ~≦~}B\end{eqnarray}\)
ベクトルの不等式の証明は、
① 大きい方の式の2乗ー小さい方の式の2乗を内積の性質を用いて計算する。
\(\begin{split}&(\,|\,\overrightarrow{a}\,|+|\,\overrightarrow{b}\,|\,)^2
-|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|^2
\\[3pt]~~=~&2(|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})
\end{split}\)
② 内積と大きさの大小関係の式より、①の式が \(0\) 以上であることを示す。
\(-1{\small ~≦~}\cos\theta {\small ~≦~}1\) より、
\(\,-|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|
{\small ~≦~}|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta
{\small ~≦~}|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,| \)
\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}
{\small ~≦~}|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}\hspace{10pt}~~~~\Leftrightarrow ~ |\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}{\small ~≧~}0
\end{eqnarray}\)
③ 2乗を外した不等式(平方根をとった不等式)も成り立つことを示す。
\(A{\small ~≧~}0~,~B{\small ~≧~}0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~A^2 {\small ~≦~}B^2 ~\Leftrightarrow ~ A {\small ~≦~}B\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜ベクトルの不等式の証明
平面上のベクトル 38
不等式 \(|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|{\small ~≦~}|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|\) の証明方法は？
高校数学C｜平面上のベクトル
[証明] 右辺の式の2乗は、
\(\begin{split}&(\,|\,\overrightarrow{a}\,|+|\,\overrightarrow{b}\,|\,)^2
\\[3pt]~~=~&|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}+2|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}
\end{split}\)
左辺の式の2乗は、
\(\begin{split}&|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~=~&(\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,)\cdot(\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,)
\\[3pt]~~=~&\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}
\\[3pt]~~=~&|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}+2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}
\end{split}\)
よって、右辺の式の2乗ー左辺の式の2乗は、
\(\begin{split}&(\,|\,\overrightarrow{a}\,|+|\,\overrightarrow{b}\,|\,)^2
-|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~=~&(|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}+2|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2})
\\[3pt]~~~&~~~~~~~~~~-(|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}+2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2})
\\[3pt]~~=~&|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}+2|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~~&~~~~~~~~~~-|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~=~&2|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}
\\[3pt]~~=~&2(\,|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\,)
\end{split}\)
ここで、\(-1{\small ~≦~}\cos\theta {\small ~≦~}1\) の各辺に \(|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\) をかけると、
\(-|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|{\small ~≦~}|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta {\small ~≦~}|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\)
\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta\) より、
\(-|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|{\small ~≦~}\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}{\small ~≦~}|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\)
よって、\(|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}{\small ~≧~}0\) となり、
\(2(|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}){\small ~≧~}0\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~(\,|\,\overrightarrow{a}\,|+|\,\overrightarrow{b}\,|\,)^2
-|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|^{2}{\small ~≧~} 0
\end{eqnarray}\)
したがって、
\(|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|^{2}{\small ~≦~}(\,|\,\overrightarrow{a}\,|+|\,\overrightarrow{b}\,|\,)^2\)
ここで、
\(|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|{\small ~≧~}0~,~|\,\overrightarrow{a}\,|+|\,\overrightarrow{b}\,|{\small ~≧~}0\) より、
\(|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|{\small ~≦~}|\,\overrightarrow{a}\,|+|\,\overrightarrow{b}\,|\) [終]
