- 数学C｜平面上のベクトル「平面ベクトルの大きさと最小値」の基本例題解説ページです。
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問題｜平面ベクトルの大きさと最小値
平面上のベクトル 39☆\(|\overrightarrow{a}|=2~,~ |\overrightarrow{b}|=3~,~ |\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{19}\) のとき、\(|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|\) の最小値とそのときの \(t\) の値の求め方は？
高校数学C｜平面上のベクトル
解法のPoint
平面ベクトルの大きさと最小値
Point：平面ベクトルの大きさと最小値
① 大きさの条件式の両辺を2乗し、内積 \( \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} \) を求める。
\( |\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|^2=(\sqrt{19})^2 \) より、\( \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=-3 \)
② \( |\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,| \) の2乗を計算し、\( t \) の2次関数とする。
\(\begin{eqnarray}~~~&&|\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|^2\\[3pt]~~~&=&|\,\overrightarrow{a}\,|^2+2t\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+t^2|\,\overrightarrow{b}\,|^2\\[3pt]~~~&=&9t^2-6t+4\end{eqnarray}\)
③ \( t \) の2次関数を平方完成し、\( |\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|^2 \) の最小値を求める。
④ 平方根をとり、\( |\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,| \) の最小値を求める。
※ \( t \) の値は③と同じ値で最小値をとる。
\( |\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,| \) の最小値は、
① 大きさの条件式の両辺を2乗し、内積 \( \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} \) を求める。
\( |\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|^2=(\sqrt{19})^2 \) より、\( \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=-3 \)
② \( |\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,| \) の2乗を計算し、\( t \) の2次関数とする。
\(\begin{eqnarray}~~~&&|\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|^2\\[3pt]~~~&=&|\,\overrightarrow{a}\,|^2+2t\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+t^2|\,\overrightarrow{b}\,|^2\\[3pt]~~~&=&9t^2-6t+4\end{eqnarray}\)
③ \( t \) の2次関数を平方完成し、\( |\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|^2 \) の最小値を求める。
④ 平方根をとり、\( |\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,| \) の最小値を求める。
※ \( t \) の値は③と同じ値で最小値をとる。
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詳しい解説｜平面ベクトルの大きさと最小値
平面上のベクトル 39☆
\(|\overrightarrow{a}|=2~,~ |\overrightarrow{b}|=3~,~ |\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{19}\) のとき、\(|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|\) の最小値とそのときの \(t\) の値の求め方は？
高校数学C｜平面上のベクトル
\(|\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|=\sqrt{19}\) の両辺を2乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|^{2}&=&\left(\sqrt{19}\right)^{2}
\\[3pt]~~~(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})&=&19
\\[3pt]~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}&=&19
\\[3pt]~~~|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}&=&19
\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})&=&19
\\[3pt]~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}&=&19
\\[3pt]~~~|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}&=&19
\end{eqnarray}\)
\(|\,\overrightarrow{a}\,|=2\,,\ |\,\overrightarrow{b}\,|=3\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{10pt}~~~2^{2}-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+3^{2}&=&19
\\[3pt]~~~4-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+9&=&19
\\[3pt]~~~-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&19-13
\\[3pt]~~~-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&6
\\[3pt]~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&-3
\end{eqnarray}\)
ここで、\( |\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,| \) を2乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|^2&=&(\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b})
\\[3pt]~~~&=&\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+t^2\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}
\\[3pt]~~~&=&|\,\overrightarrow{a}\,|^2+2t\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+t^2|\,\overrightarrow{b}\,|^2\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+t^2\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}
\\[3pt]~~~&=&|\,\overrightarrow{a}\,|^2+2t\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+t^2|\,\overrightarrow{b}\,|^2\end{eqnarray}\)
\( |\,\overrightarrow{a}\,|=2~,~|\,\overrightarrow{b}\,|=3~,~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=-3 \) を代入して、平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{37pt}~~~&=&2^2+2t\cdot(-3)+t^2\cdot 3^2
\\[3pt]~~~&=&4-6t+9t^2
\\[3pt]~~~&=&9t^2-6t+4
\\[5pt]~~~&=&9\left(\,t^2-\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}t\,\right)+4
\\[5pt]~~~&=&9\left(\,t^2-\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}t+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,9\,}-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,9\,}\,\right)+4
\\[5pt]~~~&=&9\left(\,t-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}\,\right)^2-1+4
\\[5pt]~~~&=&9\left(\,t-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}\,\right)^2+3\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&4-6t+9t^2
\\[3pt]~~~&=&9t^2-6t+4
\\[5pt]~~~&=&9\left(\,t^2-\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}t\,\right)+4
\\[5pt]~~~&=&9\left(\,t^2-\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}t+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,9\,}-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,9\,}\,\right)+4
\\[5pt]~~~&=&9\left(\,t-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}\,\right)^2-1+4
\\[5pt]~~~&=&9\left(\,t-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}\,\right)^2+3\end{eqnarray}\)
よって、\( |\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|^2 \) は \( t=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,} \) のとき、最小値 \( 3 \) をとるので、
\( |\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,| \) は、\( t=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,} \) のとき、最小値 \( \sqrt{3} \) をとる
