このページは、「平面ベクトルの大きさと最小値」の練習問題アーカイブページとなります。
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平面ベクトルの大きさと最小値 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(|\overrightarrow{a}|=2~,~ |\overrightarrow{b}|=3~,~ |\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=4\) とする。
\({\small (1)}~\) 内積 \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\) を求めよ。
\({\small (2)}~\) \(|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|\) を最小にする実数 \(t\) の値 \(t_0\) とその最小値を求めよ。
\({\small (3)}~\) \({\small (2)}\) の \(t_0\) に対して、\(\overrightarrow{a}+t_0\overrightarrow{b}\) と \(\overrightarrow{b}\) は垂直であることを確かめよ。
\({\small (1)}~\) 内積 \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\) を求めよ。
\({\small (2)}~\) \(|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|\) を最小にする実数 \(t\) の値 \(t_0\) とその最小値を求めよ。
\({\small (3)}~\) \({\small (2)}\) の \(t_0\) に対して、\(\overrightarrow{a}+t_0\overrightarrow{b}\) と \(\overrightarrow{b}\) は垂直であることを確かめよ。
数研出版｜数学Ｃ[708] p.48 演習問題B 5
\({\small (1)}~\) \(|\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|=4\) の両辺を2乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|^{2}&=&4^{2}
\\[3pt]~~~(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})&=&16
\\[3pt]~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}&=&16
\\[3pt]~~~|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}&=&16
\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})&=&16
\\[3pt]~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}&=&16
\\[3pt]~~~|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}&=&16
\end{eqnarray}\)
\(|\,\overrightarrow{a}\,|=2\,,\ |\,\overrightarrow{b}\,|=3\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{10pt}~2^{2}-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+3^{2}&=&16
\\[3pt]~4-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+9&=&16
\\[3pt]~-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&16-13
\\[3pt]~-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&3
\\[5pt]~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&-\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\) \( |\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,| \) を2乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|^2&=&(\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b})
\\[3pt]~~~&=&\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+t^2\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}
\\[3pt]~~~&=&|\,\overrightarrow{a}\,|^2+2t\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+t^2|\,\overrightarrow{b}\,|^2\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+t^2\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}
\\[3pt]~~~&=&|\,\overrightarrow{a}\,|^2+2t\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+t^2|\,\overrightarrow{b}\,|^2\end{eqnarray}\)
\( |\,\overrightarrow{a}\,|=2~,~|\,\overrightarrow{b}\,|=3~,~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=-\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,} \) を代入して、平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{37pt}~~~&=&2^2+2t\cdot\left(-\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\right)+t^2\cdot 3^2
\\[3pt]~~~&=&4-3t+9t^2
\\[3pt]~~~&=&9t^2-3t+4
\\[5pt]~~~&=&9\left(\,t^2-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}t\,\right)+4
\\[5pt]~~~&=&9\left(\,t^2-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}t+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,36\,}-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,36\,}\,\right)+4
\\[5pt]~~~&=&9\left(\,t-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}\,\right)^2-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,}+4
\\[5pt]~~~&=&9\left(\,t-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}\,\right)^2+\displaystyle\frac{\,15\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&4-3t+9t^2
\\[3pt]~~~&=&9t^2-3t+4
\\[5pt]~~~&=&9\left(\,t^2-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}t\,\right)+4
\\[5pt]~~~&=&9\left(\,t^2-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}t+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,36\,}-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,36\,}\,\right)+4
\\[5pt]~~~&=&9\left(\,t-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}\,\right)^2-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,}+4
\\[5pt]~~~&=&9\left(\,t-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}\,\right)^2+\displaystyle\frac{\,15\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
よって、\( |\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|^2 \) は \( t_0=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} \) のとき、最小値 \( \displaystyle\frac{\,15\,}{\,4\,} \) をとるので、
\( |\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,| \) は、\( t_0=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} \) のとき、最小値 \( \displaystyle\frac{\,\sqrt{15}\,}{\,2\,} \) をとる
\({\small (3)}~\) \((\overrightarrow{a}+t_0\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{b}\) を計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(\overrightarrow{a}+t_0\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{b}&=&\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+t_0\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}
\\[3pt]~~~&=&\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+t_0|\,\overrightarrow{b}\,|^2\end{eqnarray}\)
\( \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=-\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}~,~t_0=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}~,~|\,\overrightarrow{b}\,|=3 \) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{37pt}~~~&=&-\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}\cdot 3^2
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}+\displaystyle\frac{\,9\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
よって、\((\overrightarrow{a}+t_0\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{b}=0\) より、\(\overrightarrow{a}+t_0\overrightarrow{b}\) と \(\overrightarrow{b}\) は垂直である
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(|\overrightarrow{a}|=1~,~ |\overrightarrow{b}|=2\) のとき、次の値の最大値、最小値を求めよ。
\({\small (1)}~\) \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\)
\({\small (2)}~\) \(|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|\)
\({\small (1)}~\) \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\)
\({\small (2)}~\) \(|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|\)
数研出版｜高等学校数学Ｃ[709] p.47 章末問題A 2
数研出版｜新編数学Ｃ[710] p.49 章末問題B 6
\({\small (1)}~\) \(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) のなす角を \(\theta\) とすると、
内積の定義より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&|\,\overrightarrow{a}\,||\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta
\\[3pt]~~~&=&1\cdot 2\cdot\cos\theta
\\[3pt]~~~&=&2\cos\theta\end{eqnarray}\)
ここで、\( 0{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\pi \) より \( -1{\small ~≦~}\cos\theta{\small ~≦~} 1 \) なので、
\(\begin{eqnarray}~~~-1{\small ~≦~}&\cos\theta&{\small ~≦~} 1
\\[3pt]~~~-2{\small ~≦~}&2\cos\theta&{\small ~≦~} 2\end{eqnarray}\)
よって、\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\) の最大値は \(2\)（\(\theta=0\) のとき）、最小値は \(-2\)（\(\theta=\pi\) のとき）
\({\small (2)}~\) \(|\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|\) を2乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|^{2}&=&(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})
\\[3pt]~~~&=&|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~~&=&1^2-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+2^2
\\[3pt]~~~&=&5-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~~&=&1^2-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+2^2
\\[3pt]~~~&=&5-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\end{eqnarray}\)
\({\small (1)}\) より \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=2\cos\theta\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{10pt}~|\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|^{2}&=&5-2\cdot 2\cos\theta
\\[3pt]~~~&=&5-4\cos\theta\end{eqnarray}\)
ここで、\( -1{\small ~≦~}\cos\theta{\small ~≦~} 1 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~-1{\small ~≦~}&&\cos\theta{\small ~≦~} 1
\\[3pt]~~~-4{\small ~≦~}&&-4\cos\theta{\small ~≦~} 4
\\[3pt]~~~1{\small ~≦~}&&5-4\cos\theta{\small ~≦~} 9\end{eqnarray}\)
よって、\(|\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|^{2}\) は、\(\theta=0\) のとき最小値 \(1\)、\(\theta=\pi\) のとき最大値 \(9\) をとるので、
\(|\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|\) の最大値は \(3\)（\(\theta=\pi\) のとき）、最小値は \(1\)（\(\theta=0\) のとき）
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\(|\overrightarrow{a}|=5~,~ |\overrightarrow{b}|=2~,~ |\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=3\sqrt{5}\) のとき、次の問に答えよ。
\({\small (1)}~\) \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\) および \(|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|\) の値を求めよ。
\({\small (2)}~\) \(|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|\) の最小値を求めよ。また、そのときの \(t\) の値 \(t_1\) を求めよ。
\({\small (3)}~\) \({\small (2)}\) の \(t_1\) に対して、\(\overrightarrow{a}+t_1\overrightarrow{b}\) と \(\overrightarrow{b}\) とは垂直であることを確かめよ。
\({\small (1)}~\) \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\) および \(|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|\) の値を求めよ。
\({\small (2)}~\) \(|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|\) の最小値を求めよ。また、そのときの \(t\) の値 \(t_1\) を求めよ。
\({\small (3)}~\) \({\small (2)}\) の \(t_1\) に対して、\(\overrightarrow{a}+t_1\overrightarrow{b}\) と \(\overrightarrow{b}\) とは垂直であることを確かめよ。
東京書籍｜Advanced数学Ｃ[701] p.68 練習問題A 2
東京書籍｜Standard数学Ｃ[702] p.68 Level Up 3
\({\small (1)}~\) \(|\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|=3\sqrt{5}\) の両辺を2乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|^{2}&=&\left(3\sqrt{5}\right)^{2}
\\[3pt]~~~(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})&=&45
\\[3pt]~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}&=&45
\\[3pt]~~~|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}&=&45
\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})&=&45
\\[3pt]~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}&=&45
\\[3pt]~~~|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}&=&45
\end{eqnarray}\)
\(|\,\overrightarrow{a}\,|=5\,,\ |\,\overrightarrow{b}\,|=2\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{10pt}~5^{2}-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+2^{2}&=&45
\\[3pt]~25-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+4&=&45
\\[3pt]~-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&45-29
\\[3pt]~-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&16
\\[3pt]~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&-8
\end{eqnarray}\)
次に、\(|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|\) を2乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|^{2}&=&(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})
\\[3pt]~~~&=&|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}+2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}+2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}\end{eqnarray}\)
\(|\,\overrightarrow{a}\,|=5\,,\ |\,\overrightarrow{b}\,|=2\,,\ \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=-8\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{37pt}~~~&=&5^{2}+2\cdot(-8)+2^{2}
\\[3pt]~~~&=&25-16+4
\\[3pt]~~~&=&13\end{eqnarray}\)
よって、\(|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|=\sqrt{13}\)
\({\small (2)}~\) \( |\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,| \) を2乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|^2&=&(\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b})
\\[3pt]~~~&=&\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+t^2\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}
\\[3pt]~~~&=&|\,\overrightarrow{a}\,|^2+2t\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+t^2|\,\overrightarrow{b}\,|^2\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+t^2\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}
\\[3pt]~~~&=&|\,\overrightarrow{a}\,|^2+2t\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+t^2|\,\overrightarrow{b}\,|^2\end{eqnarray}\)
\( |\,\overrightarrow{a}\,|=5~,~|\,\overrightarrow{b}\,|=2~,~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=-8 \) を代入して、平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{37pt}~~~&=&5^2+2t\cdot(-8)+t^2\cdot 2^2
\\[3pt]~~~&=&25-16t+4t^2
\\[3pt]~~~&=&4t^2-16t+25
\\[5pt]~~~&=&4\left(\,t^2-4t\,\right)+25
\\[5pt]~~~&=&4\left(\,t^2-4t+4-4\,\right)+25
\\[5pt]~~~&=&4\left(\,t-2\,\right)^2-16+25
\\[5pt]~~~&=&4\left(\,t-2\,\right)^2+9\end{eqnarray}\)
よって、\( |\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|^2 \) は \( t_1=2 \) のとき、最小値 \( 9 \) をとるので、
\( |\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,| \) は、\( t_1=2 \) のとき、最小値 \( 3 \) をとる
\({\small (3)}~\) \((\overrightarrow{a}+t_1\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{b}\) を計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(\overrightarrow{a}+t_1\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{b}&=&\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+t_1\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}
\\[3pt]~~~&=&\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+t_1|\,\overrightarrow{b}\,|^2\end{eqnarray}\)
\( \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=-8~,~t_1=2~,~|\,\overrightarrow{b}\,|=2 \) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{37pt}~~~&=&-8+2\cdot 2^2
\\[3pt]~~~&=&-8+8
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
よって、\((\overrightarrow{a}+t_1\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{b}=0\) より、\(\overrightarrow{a}+t_1\overrightarrow{b}\) と \(\overrightarrow{b}\) は垂直である
