- 数学C｜平面上のベクトル「ベクトルの成分と垂直・平行の条件式」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜ベクトルの成分と垂直・平行の条件式
\(\overrightarrow{a}\,//\,\overrightarrow{b}\) ならば \(a_1b_2-a_2b_1=0\) 、
\(\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}\) ならば \(a_1b_1+a_2b_2=0\) であることの証明方法は？
高校数学C｜平面上のベクトル
解法のPoint
ベクトルの成分と垂直・平行の条件式
\(\overrightarrow{0}\) でない2つのベクトル
\( \overrightarrow{a}=\left(\,\begin{array}{c}a_1\\[2pt]a_2\end{array}\,\right)~,~\overrightarrow{b}=\left(\,\begin{array}{c}b_1\\[2pt]b_2\end{array}\,\right) \) において、
■ 平行条件
\( \overrightarrow{a}\,//\,\overrightarrow{b} \) より、\( \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\pm \,|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,| \) であることから、
\(a_1\,b_2-a_2\,b_1=0\)
■ 垂直条件
\( \overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b} \) より、\( \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0 \) であるので、
\(a_1\,b_1+a_2\,b_2=0\)
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜ベクトルの成分と垂直・平行の条件式
\(\overrightarrow{0}\) でない \(\overrightarrow{a}=(a_1~,~ a_2)~,~ \overrightarrow{b}=(b_1~,~ b_2)\) について、
\(\overrightarrow{a}\,//\,\overrightarrow{b}\) ならば \(a_1b_2-a_2b_1=0\) 、
\(\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}\) ならば \(a_1b_1+a_2b_2=0\) であることの証明方法は？
高校数学C｜平面上のベクトル
[証明] 2つのベクトル \( \overrightarrow{a}=\left(\,\begin{array}{c}a_1\\[2pt]a_2\end{array}\,\right) \) , \( \overrightarrow{b}=\left(\,\begin{array}{c}b_1\\[2pt]b_2\end{array}\,\right) \) が平行のとき、
\( \overrightarrow{a} \) と \( \overrightarrow{b} \) のなす角を \( \theta \) とすると、\( \theta=0^\circ \) または \( \theta=180^\circ \) となり、
\( \cos 0^\circ=1 ~,~ \cos 180^\circ=-1 \) であるので、
\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos 0^\circ=|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\)
\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos 180^\circ=-|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\)
よって、\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\pm \, |\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\) となり、両辺を2乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\,)^{2}&=&|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}
\end{eqnarray}\)
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&a_1\,b_1+a_2\,b_2\\[3pt]
|\,\overrightarrow{a}\,|&=&\sqrt{{a_1}^{2}+{a_2}^{2}}\\[3pt]
|\,\overrightarrow{b}\,|&=&\sqrt{{b_1}^{2}+{b_2}^{2}}
\end{eqnarray}\)
であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(a_1\,b_1+a_2\,b_2\right)^{2}&=&\left({a_1}^{2}+{a_2}^{2}\right)\left({b_1}^{2}+{b_2}^{2}\right)\end{eqnarray}\)
両辺をそれぞれ展開して、整理すると、
\\[3pt]~~~2{a_1}\,{a_2}\,{b_1}\,{b_2}&=&{a_1}^{2}\,{b_2}^{2}+{a_2}^{2}\,{b_1}^{2}
\\[3pt]~~~{a_1}^{2}\,{b_2}^{2}-2a_1\,a_2\,b_1\,b_2+{a_2}^{2}\,{b_1}^{2}&=&0
\\[3pt]~~~\left(a_1\,b_2-a_2\,b_1\right)^{2}&=&0
\\[3pt]~~~a_1\,b_2-a_2\,b_1&=&0
\end{eqnarray}\)
また、2つのベクトル \( \overrightarrow{a}=\left(\,\begin{array}{c}a_1\\[2pt]a_2\end{array}\,\right) \) , \( \overrightarrow{b}=\left(\,\begin{array}{c}b_1\\[2pt]b_2\end{array}\,\right) \) が垂直のとき、
内積 \( \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0 \) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&0
\\[3pt]~~~a_1\,b_1+a_2\,b_2&=&0
\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\overrightarrow{a}\,//\,\overrightarrow{b}\) ならば \(a_1b_2-a_2b_1=0\)
\(\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}\) ならば \(a_1b_1+a_2b_2=0\) [終]
