このページは、「ベクトルの成分と垂直・平行の条件式」の練習問題アーカイブページとなります。
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ベクトルの成分と垂直・平行の条件式 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(\overrightarrow{0}\) でない2つのベクトル \(\overrightarrow{a}=(a_1~,~ a_2)~,~ \overrightarrow{b}=(b_1~,~ b_2)\) について、次のことが成り立つことを示せ。
\(\overrightarrow{a}\,//\,\overrightarrow{b}~~ \Longleftrightarrow ~~a_1\,b_2-a_2\,b_1=0\)
また、このことを利用して、ベクトル \(\overrightarrow{m}=(1~,~ p)~,~ \overrightarrow{n}=(p+2~,~ 3)\) が平行になるように、\( p \) の値を定めよ。
\(\overrightarrow{a}\,//\,\overrightarrow{b}~~ \Longleftrightarrow ~~a_1\,b_2-a_2\,b_1=0\)
また、このことを利用して、ベクトル \(\overrightarrow{m}=(1~,~ p)~,~ \overrightarrow{n}=(p+2~,~ 3)\) が平行になるように、\( p \) の値を定めよ。
数研出版｜数学Ｃ[708] p.30 問題 7
[証明] 2つのベクトル \( \overrightarrow{a}=\left(\,\begin{array}{c}a_1\\[2pt]a_2\end{array}\,\right) \) , \( \overrightarrow{b}=\left(\,\begin{array}{c}b_1\\[2pt]b_2\end{array}\,\right) \) が平行のとき、
\( \overrightarrow{a} \) と \( \overrightarrow{b} \) のなす角を \( \theta \) とすると、\( \theta=0^\circ \) または \( \theta=180^\circ \) となり、
\( \cos 0^\circ=1 ~,~ \cos 180^\circ=-1 \) であるので、
\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos 0^\circ=|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\)
\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos 180^\circ=-|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\)
よって、\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\pm \, |\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\) となり、両辺を2乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\,)^{2}&=&|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}
\end{eqnarray}\)
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&a_1\,b_1+a_2\,b_2\\[3pt]
|\,\overrightarrow{a}\,|&=&\sqrt{{a_1}^{2}+{a_2}^{2}}\\[3pt]
|\,\overrightarrow{b}\,|&=&\sqrt{{b_1}^{2}+{b_2}^{2}}
\end{eqnarray}\)
であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(a_1\,b_1+a_2\,b_2\right)^{2}&=&\left({a_1}^{2}+{a_2}^{2}\right)\left({b_1}^{2}+{b_2}^{2}\right)\end{eqnarray}\)
両辺をそれぞれ展開して、整理すると、
\(\begin{eqnarray}~~~{a_1}^{2}\,{b_2}^{2}-2a_1\,a_2\,b_1\,b_2+{a_2}^{2}\,{b_1}^{2}&=&0
\\[3pt]~~~\left(a_1\,b_2-a_2\,b_1\right)^{2}&=&0
\\[3pt]~~~a_1\,b_2-a_2\,b_1&=&0
\end{eqnarray}\)
逆に、\( a_1\,b_2-a_2\,b_1=0 \) のとき、上の式変形を逆にたどると、
\(\begin{eqnarray}~~~(\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\,)^{2}&=&|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}
\end{eqnarray}\)
\( |\,\overrightarrow{a}\,| \gt 0~,~|\,\overrightarrow{b}\,| \gt 0 \) より、\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\pm \, |\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\) となり、
\(\cos\theta=\displaystyle\frac{\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\,}{|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|}=\pm\,1\)
よって、\( \theta=0^\circ \) または \( \theta=180^\circ \) となり、\(\overrightarrow{a}\,//\,\overrightarrow{b}\)
したがって、
\(\overrightarrow{a}\,//\,\overrightarrow{b}~~ \Longleftrightarrow ~~a_1\,b_2-a_2\,b_1=0\) [終]
次に、\(\overrightarrow{m}=(1~,~ p)~,~ \overrightarrow{n}=(p+2~,~ 3)\) が平行になるとき、
\(\overrightarrow{m}\,//\,\overrightarrow{n}~~ \Longleftrightarrow ~~1 \cdot 3 – p(p+2)=0\)
これを整理すると、
\(\begin{eqnarray}~~~3-p^{2}-2p&=&0
\\[3pt]~~~p^{2}+2p-3&=&0
\\[3pt]~~~(p+3)(p-1)&=&0
\\[3pt]~~~p&=&-3~,~1
\end{eqnarray}\)
したがって、\( p=-3~,~1 \) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\({\small (1)}~\)次が成り立つことを示せ。
\(\overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0}~,~\overrightarrow{b}\neq\overrightarrow{0}\) で、\(\overrightarrow{a}=(a_1~,~ a_2)~,~ \overrightarrow{b}=(b_1~,~ b_2)\) のとき
\(\overrightarrow{a}\,//\,\overrightarrow{b}~~ \Longleftrightarrow ~~a_1\,b_2-a_2\,b_1=0\)
\({\small (2)}~\)2つのベクトル \(\overrightarrow{a}=(9~,~ -6)~,~ \overrightarrow{b}=(x~,~ 2)\) について、\(\overrightarrow{a}\,//\,\overrightarrow{b}\) のとき、\({\small (1)}~\)の結果を用いて、\( x \) の値を求めよ。
\(\overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0}~,~\overrightarrow{b}\neq\overrightarrow{0}\) で、\(\overrightarrow{a}=(a_1~,~ a_2)~,~ \overrightarrow{b}=(b_1~,~ b_2)\) のとき
\(\overrightarrow{a}\,//\,\overrightarrow{b}~~ \Longleftrightarrow ~~a_1\,b_2-a_2\,b_1=0\)
\({\small (2)}~\)2つのベクトル \(\overrightarrow{a}=(9~,~ -6)~,~ \overrightarrow{b}=(x~,~ 2)\) について、\(\overrightarrow{a}\,//\,\overrightarrow{b}\) のとき、\({\small (1)}~\)の結果を用いて、\( x \) の値を求めよ。
数研出版｜高等学校数学Ｃ[709] p.30 問題 3
数研出版｜新編数学Ｃ[710] p.30 補充問題 2
\({\small (1)}~\)[証明] 2つのベクトル \( \overrightarrow{a}=\left(\,\begin{array}{c}a_1\\[2pt]a_2\end{array}\,\right) \) , \( \overrightarrow{b}=\left(\,\begin{array}{c}b_1\\[2pt]b_2\end{array}\,\right) \) が平行のとき、
\( \overrightarrow{a} \) と \( \overrightarrow{b} \) のなす角を \( \theta \) とすると、\( \theta=0^\circ \) または \( \theta=180^\circ \) となり、
\( \cos 0^\circ=1 ~,~ \cos 180^\circ=-1 \) であるので、
\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos 0^\circ=|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\)
\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos 180^\circ=-|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\)
よって、\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\pm \, |\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\) となり、両辺を2乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\,)^{2}&=&|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}
\end{eqnarray}\)
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&a_1\,b_1+a_2\,b_2\\[3pt]
|\,\overrightarrow{a}\,|&=&\sqrt{{a_1}^{2}+{a_2}^{2}}\\[3pt]
|\,\overrightarrow{b}\,|&=&\sqrt{{b_1}^{2}+{b_2}^{2}}
\end{eqnarray}\)
であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(a_1\,b_1+a_2\,b_2\right)^{2}&=&\left({a_1}^{2}+{a_2}^{2}\right)\left({b_1}^{2}+{b_2}^{2}\right)\end{eqnarray}\)
両辺をそれぞれ展開して、整理すると、
\(\begin{eqnarray}~~~{a_1}^{2}\,{b_2}^{2}-2a_1\,a_2\,b_1\,b_2+{a_2}^{2}\,{b_1}^{2}&=&0
\\[3pt]~~~\left(a_1\,b_2-a_2\,b_1\right)^{2}&=&0
\\[3pt]~~~a_1\,b_2-a_2\,b_1&=&0
\end{eqnarray}\)
逆に、\( a_1\,b_2-a_2\,b_1=0 \) のとき、上の式変形を逆にたどると、
\(\begin{eqnarray}~~~(\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\,)^{2}&=&|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}
\end{eqnarray}\)
\( |\,\overrightarrow{a}\,| \gt 0~,~|\,\overrightarrow{b}\,| \gt 0 \) より、\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\pm \, |\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\) となり、
\(\cos\theta=\displaystyle\frac{\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\,}{|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|}=\pm\,1\)
よって、\( \theta=0^\circ \) または \( \theta=180^\circ \) となり、\(\overrightarrow{a}\,//\,\overrightarrow{b}\)
したがって、
\(\overrightarrow{a}\,//\,\overrightarrow{b}~~ \Longleftrightarrow ~~a_1\,b_2-a_2\,b_1=0\) [終]
\({\small (2)}~\overrightarrow{a}=(9~,~ -6)~,~ \overrightarrow{b}=(x~,~ 2)\) が平行になるとき、
{\small (1)}の結果を用いると、
\(\overrightarrow{a}\,//\,\overrightarrow{b}~~ \Longleftrightarrow ~~9 \cdot 2 – (-6) \cdot x=0\)
これを整理すると、
\(\begin{eqnarray}~~~18+6x&=&0
\\[3pt]~~~6x&=&-18
\\[3pt]~~~x&=&-3
\end{eqnarray}\)
したがって、\( x=-3 \) となる
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\(\overrightarrow{a}=(2~,~ x)~,~ \overrightarrow{b}=(x+1~,~ 3)\) とする。
\({\small (1)}~\)\(2\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) と \(\overrightarrow{a}-2\,\overrightarrow{b}\) が垂直になるように、\( x \) の値を定めよ。
\({\small (2)}~\)\(2\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) と \(\overrightarrow{a}-2\,\overrightarrow{b}\) が平行になるように、\( x \) の値を定めよ。
\({\small (1)}~\)\(2\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) と \(\overrightarrow{a}-2\,\overrightarrow{b}\) が垂直になるように、\( x \) の値を定めよ。
\({\small (2)}~\)\(2\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) と \(\overrightarrow{a}-2\,\overrightarrow{b}\) が平行になるように、\( x \) の値を定めよ。
数研出版｜高等学校数学Ｃ[709] p.47 章末問題A 3
\({\small (1)}\)~\(\overrightarrow{a}=(2~,~ x)~,~ \overrightarrow{b}=(x+1~,~ 3)\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~2\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}&=&2(2~,~ x)+(x+1~,~ 3)\\[3pt]
&=&(4~,~ 2x)+(x+1~,~ 3)\\[3pt]
&=&(x+5~,~ 2x+3)
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}-2\,\overrightarrow{b}&=&(2~,~ x)-2(x+1~,~ 3)\\[3pt]
&=&(2~,~ x)-(2x+2~,~ 6)\\[3pt]
&=&(-2x~,~ x-6)
\end{eqnarray}\)
\(2\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) と \(\overrightarrow{a}-2\,\overrightarrow{b}\) が垂直になるとき、
内積が \( 0 \) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~(x+5)(-2x)+(2x+3)(x-6)&=&0\\[3pt]
~~~-2x^{2}-10x+2x^{2}-12x+3x-18&=&0\\[3pt]
~~~-19x-18&=&0\\[3pt]
~~~x&=&-\displaystyle\frac{\,18\,}{\,19\,}
\end{eqnarray}\)
~~~-2x^{2}-10x+2x^{2}-12x+3x-18&=&0\\[3pt]
~~~-19x-18&=&0\\[3pt]
~~~x&=&-\displaystyle\frac{\,18\,}{\,19\,}
\end{eqnarray}\)
したがって、\( x=-\displaystyle\frac{\,18\,}{\,19\,} \) となる
\({\small (2)}~\)\({\small (1)}\)より、
\(2\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(x+5~,~ 2x+3)\)
\(\overrightarrow{a}-2\,\overrightarrow{b}=(-2x~,~ x-6)\)
\(2\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) と \(\overrightarrow{a}-2\,\overrightarrow{b}\) が平行になるとき、
平行条件 \( a_1\,b_2-a_2\,b_1=0 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~(x+5)(x-6)-(2x+3)(-2x)&=&0\\[3pt]
~~~x^{2}-x-30+4x^{2}+6x&=&0\\[3pt]
~~~5x^{2}+5x-30&=&0\\[3pt]
~~~x^{2}+x-6&=&0\\[3pt]
~~~(x+3)(x-2)&=&0\\[3pt]
~~~x&=&-3~,~2
\end{eqnarray}\)
~~~x^{2}-x-30+4x^{2}+6x&=&0\\[3pt]
~~~5x^{2}+5x-30&=&0\\[3pt]
~~~x^{2}+x-6&=&0\\[3pt]
~~~(x+3)(x-2)&=&0\\[3pt]
~~~x&=&-3~,~2
\end{eqnarray}\)
したがって、\( x=-3~,~2 \) となる
