このページは、「三角形と2点を結ぶ位置ベクトル」の練習問題アーカイブページとなります。
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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(\triangle {\rm ABC}\) において、辺 \({\rm BC}\) を \(3:1\) に内分する点を \({\rm D}\) とし、線分 \({\rm AD}\) を \(4:1\) に内分する点を \({\rm E}\) とする。\(\overrightarrow{\rm AB}\) と \(\overrightarrow{\rm AC}\) を用いて \(\overrightarrow{\rm AE}~,~\overrightarrow{\rm BE}\) を表せ。
数研出版｜数学Ｃ[708] p.47 問題 8
点 \( {\rm D} \) は \( {\rm BC} \) を \( 3:1 \) に内分する点より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AD}&=&\displaystyle \frac{\,1\cdot\overrightarrow{\rm AB}+3\cdot\overrightarrow{\rm AC}\,}{\,3+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\overrightarrow{\rm AB}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\overrightarrow{\rm AC}
\end{eqnarray}\)
次に、\( {\rm AE:ED}=4:1 \) より \( {\rm AE:AD}=4:5 \) となり、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AE}&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\overrightarrow{\rm AD}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\overrightarrow{\rm AB}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\overrightarrow{\rm AC}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\overrightarrow{\rm AB}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\overrightarrow{\rm AC}
\end{eqnarray}\)
\( \overrightarrow{\rm BE} \) の始点を \({\rm A}\) にすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm BE}&=&\overrightarrow{\rm AE}-\overrightarrow{\rm AB}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\overrightarrow{\rm AB}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\overrightarrow{\rm AC}\right)-\overrightarrow{\rm AB}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\overrightarrow{\rm AB}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\overrightarrow{\rm AC}
\end{eqnarray}\)
