- 数学C｜平面上のベクトル「重心の位置ベクトル」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜重心の位置ベクトル
高校数学C｜平面上のベクトル
解法のPoint
重心の位置ベクトル
\({\rm A}(\overrightarrow{a})~,~{\rm B}(\overrightarrow{b})~,~{\rm C}(\overrightarrow{c})\) より、
\(\triangle {\rm ABC}\) の重心の位置ベクトル \({\rm G}(\overrightarrow{g})\) は、
\(\overrightarrow{g}=\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,3\,}\)
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜重心の位置ベクトル
\({\rm A}(\overrightarrow{a})~,~ {\rm B}(\overrightarrow{b})~,~ {\rm C}(\overrightarrow{c})\) を頂点とする \(\triangle {\rm ABC}\) の重心 \(\rm G\) の位置ベクトルの求め方は？また、\(\overrightarrow{\rm GA}+\overrightarrow{\rm GB}+\overrightarrow{\rm GC}=\overrightarrow{0}\) であることの証明方法は？
高校数学C｜平面上のベクトル
\({\rm A}(\overrightarrow{a})~,~{\rm B}(\overrightarrow{b})~,~{\rm C}(\overrightarrow{c})\) より、\(\triangle {\rm ABC}\) の重心の位置ベクトル \({\rm G}(\overrightarrow{g})\) は、
\(\overrightarrow{g}=\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,3\,}\) となる
[証明] 左辺より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\overrightarrow{\rm GA}+\overrightarrow{\rm GB}+\overrightarrow{\rm GC}
\\[3pt]~~~&=&(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{g})+(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{g})+(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{g})
\\[3pt]~~~&=&\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-3\overrightarrow{g}
\end{eqnarray}\)
\(\overrightarrow{g}=\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,3\,}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-3\cdot\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,3\,}
\\[3pt]~~~&=&\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})
\\[3pt]~~~&=&\overrightarrow{0}
\end{eqnarray}\)
したがって、\(\overrightarrow{\rm GA}+\overrightarrow{\rm GB}+\overrightarrow{\rm GC}=\overrightarrow{0}\) [終]
【重心の位置ベクトルの証明】
[証明]
重心 \({\rm G}\) は3本の中線の交点より、
辺 \(\rm BC\) の中点を \(\rm M\) とすると、
\(~~~\overrightarrow{m}=\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,2\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
また、点 \(\rm G\) は中線 \({\rm AM}\) を \(2:1\) に内分するので、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{g}&=&\displaystyle \frac{\,1{\, \small \times \,}\overrightarrow{a}+2{\, \small \times \,}\overrightarrow{m}\,}{\,2+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{m}\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{g}&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+2{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,2\,}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
したがって、\(\overrightarrow{g}=\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,3\,}\) [終]
